Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам 2 (стр. 2 из 12)
2. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительной погрешностью приближенного числа a будет являться величина
По этому же правилу определим относительную погрешность суммы приближенных чисел a и b как
При этом можно показать, что
3. Относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключена между наименьшей и наибольшей относительными погрешностями слагаемых:
4. Для разности двух приближенных чисел одного знака величина относительной погрешности
может быть сколь угодно большой.2) Умножение и деление приближенных чисел
Очевидно, что приближенное число
Тогда для произведения
Если пренебречь последним малым слагаемым в скобках, то можно сформулировать следующее правило:
1. Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей множителей
.Так как деление на число b равнозначно умножению на 1/b, то справедливо утверждение:
2. Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя.
Следовательно, при умножении и делении приближенных чисел необходимо принимать во внимание количество значащих цифр, характеризующих относительную точность числа, а не количество десятичных знаков, обуславливающих его абсолютную погрешность.
Совершенно очевидно, что при большом количестве действий такого сорта правила нельзя считать удовлетворительными, так как погрешности будут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Статистическая оценка показывает, что при N одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки больше единичной в
раз, если нет систематических причин для накопления погрешности. Систематические причины возникают, если, например в алгоритме вычитаются близкие по величине числа.При любых расчетах надо устанавливать такую точность вычислений, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей.
3. Краткое введение в используемые программные средства
Традиционные языки высокоуровневого программирования. В большинстве практических случаев моделирование или численный расчет предполагает использование готового алгоритма, который необходимым образом модифицируется для конкретной задачи. В настоящее время существуют обширные фонды алгоритмов и программ, ориентированных на классические языки программирования, такие как Фортран, Си и Паскаль. Наиболее мощные математические библиотеки были разработаны для самого старого языка программирования из вышеперечисленных – Фортрана. Однако во многих случаях, обладая соответствующей квалификацией, легче написать программу, отталкиваясь от первых принципов, нежели тестировать и исправлять, или переводить на другой язык программирования незнакомый текст.
Другое направление, которое в настоящее время особенно популярно – использование мощных математических пакетов для численных и аналитических расчетов.
Mathcad.
Разрабатывается компанией MathSoft Inc. Является наиболее легкой для освоения системой математических расчетов. Принята концепция «активного документа», то есть все вычисления записываются в традиционной математической нотации (с использованием значков интеграла, суммы и др.), а после введения знака равенства или другого запускающего символа появляется рассчитанное значение. Основной недостаток – слишком мал набор основных функций и очень низкое быстродействие.
MathLab.
Система MATLAB (MATrix LABoratory) разрабатывается фирмой MathWorks. Эта система создана для работы в среде Windows и представляет собой интерактивную среду для вычислений и моделирования, причем она может работать как в режиме непосредственных вычислений (очень напоминает режим «командной строки»), так и в режиме интерпретации написанных программ. Сильная сторона системы – виртуозная работа с матрицами и векторами. Численное значение или аналитическая формула, а также сообщения системы выводится на экран в виде списка. Помимо обычных алгебраических вычислений система имеет огромный набор встроенных функций, а также имеется возможность создавать пользовательские функции. В системе очень качественно реализовано построение двух и трехмерных изображений, в том числе динамически изменяющихся. Кроме того, имеется библиотека, которая обеспечивает удобное управление исполнением программ. И это только базовый набор, который обычно расширяется многочисленными дополнениями – например языком Simulink моделирования нелинейных динамических систем. Основное назначение – технические расчеты.
Mathematica.
Разрабатывается фирмой Wolfram Research. Одна из наиболее сложных для освоения систем. Предназначена в основном для решения теоретических задач, в связи с чем весьма популярна в научных кругах. Предуставляет широкие возможности в проведении символических (аналитических) преобразований, красотой интерфейса не отличается.
Maple.
Разработка компании Waterloo Maple Inc. Также очень популярный в научных кругах пакет аналитических преобразований и численных методов. Символический процессор Maple поставляется отдельно, в связи с чем производители других программных средств могут интегрировать его в свои разработки.
4. Численное интегрирование
Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функции f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией φ(x). Такой функцией обычно является полином (кусочный полином)
То есть:
,где
– априорная погрешность метода на интервале интегрирования,а r(x) – априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.
Обзор методов интегрирования.
Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов – кубатурными).
1) Методы Ньютона-Котеса. Здесь φ(x) – полином различных степеней. Сюда относятся метод прямоугольников, трапеций, Симпсона.
2) Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Здесь узлы сетки для квадратурного или кубатурного интегрирования выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. В основном применяются для вычисления кратных интегралов.
3) Сплайновые методы. Здесь φ(x) – кусочный полином с условиями связи между отдельными полиномами посредством системы коэффициентов.
4) Методы наивысшей алгебраической точности. Обеспечивают оптимальную расстановку узлов сетки интегрирования и выбор весовых коэффициентов ρ(x) в задаче
. Сюда относится метод Гаусса Кристоффеля (вычисление несобственных интегралов) и метод Маркова.Метод прямоугольников.
Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.
Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = xi.
Рассмотрим диапазон интегрирования от xi до xi + h, где h – шаг интегрирования.
Вычислим
…==
= 
Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма – степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.
В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид
Здесь n – число разбиений интервала интегрирования
Для справедливости существования этой оценки необходимо существование непрерывной f’(x).
Метод средних прямоугольников. Здесь на каждом интервале значение функции считается в точке
, то есть 
Разложение функции в ряд Тейлора показывает, что в случае средних прямоугольников точность метода существенно выше:
Метод трапеций.
Аппроксимация в этом методе осуществляется полиномом первой степени. Суть метода ясна из рисунка.