Чисельне розвязання задач оптимального керування (стр. 1 из 3)

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ оптимального керування

1 Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності

Розглянемо неперервну задачу оптимального керування

,(1)

,(2)

, , . (3)

Виконаємо дискретну апроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок

точками , і будемо обчислювати значення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: , , . Закон руху в цьому випадку можна записати у вигляді:

.

Тепер дискретна задача оптимального керування, що апроксимує неперервну задачу (1) – (3), матиме вигляд:

, , (4)

, (5)

(6)

, . (7)

Для пошуку оптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований метод множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:

,

,(8)

де

.

Обмеження на керування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, що перед першим доданком стоїть знак «–», оскільки

і якщо не додавати «–», то характер екстремуму початкової функції зміниться.

Якщо

– локально-оптимальний процес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множники Лагранжа , , , , що матимуть місце наступні умови:

1.

або

,

,

. (10)

2.

або

,

. (11)

Із (9) одержимо ітераційні співвідношення для спряжених змінних

, а з (10) – співвідношення для :

, (12)

. (13)

Перепишемо співвідношення (12) у вигляді:

.

Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,

.

Якщо

, то з останнього співвідношення одержимо

.

Зі співвідношення (13) випливає, що

.

Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції

, неперервно-диференційовані за змінними і опуклі за . Тоді для локально-оптимального процесу існують такі множники Лагранжа , , , , не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:

1) умови стаціонарності в точці

:

;

2)

. (14)

Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:

Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного

:

Або

Якщо

, то з останнього співвідношення одержимо

2 Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням

Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори:

і . Перший із них містить -е наближення для керувань у моменти часу для системи (14), при , а другий – -е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес , що є -м наближенням до шуканого оптимального процесу.

Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.

Розглянемо алгоритм методу.

1. Задаємо крок розбиття

та точність обчислень .

2. Задаємо початкове наближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегію керування:

, , ,

де

– наближення керування в момент на ітерації .

3. За визначеною в п. 2 стратегією керування

будуємо фазову траєкторію процесу

, ,