Теоретические основы и методы системного анализа оптимизации управления принятия решений и (стр. 4 из 8)
· проектирование систем и ряд других.
Перечисленные задачи идут в порядке возрастания сложности и, как правило, нижележащие задачи включают как этап решения вышележащих.
Заметим, что требование полного детерминизма не накладывается. Модель системы может быть описана как:
· детерминированная (дифференциальные уравнения, передаточные функции, структурные схемы, сети и т.д.);
· стохастическая – топология, структура, параметры могут содержать неопределенности, вызванные случайными факторами, характеристики которых известны (мат. ожидание, дисперсия, вид закона распределения случайной величины др.);
· нечеткая (топология, структура, параметры могут содержать неопределенности, вызванные незнанием).
Модель принятия решений может включать такие процедуры как:
· вычисление показателей на основе моделей,
· способ получения единственного решения на основе оптимизации по критерию или выбора по прецеденту или ситуации.
В свою очередь, могут использоваться различные схемы оптимизации:
· линейное программирование (модель является системой линейных уравнений и ограничений),
· нелинейное программирование,
· динамическое программирование,
· вариационные методы и т.д.
2.4 Математические методы
Рассмотрим некоторые методы системного анализа в качестве типичных примеров методов этой группы.
2.4.1 Метод логического ранжирования
Метод используется для задач составления расписаний. Назначение метода: упорядочивание этапов выполнения некоторых работ.
Предположим, что имеется набор работ (этапов выполнения работ), причем некоторые виды работ не могут быть начаты до того, как будут окончены другие работы. Например, определены причинно – следственные отношения между отдельными работами (см. рис. 2.1.): работа Р0 является завершающей, ей должны предшествовать работы Р1, Р2 и Р3, работе Р1 должны предшествовать работы Р4, Р5 и Р9 и т.д. Продолжительность каждой работы примем за единицу.
Для принятия решений нужно выработать критерий, по которому будет происходить оптимизация. В качестве критерия возьмем вес работы. Он чем больше, тем раньше работу необходимо выполнить. Для решения задачи составляется матрица весов (см. табл. 2.1).
В последней колонке таблицы отмечены веса каждой работы, равные сумме чисел в соответствующей строке. Отсюда можно определить последовательность выполнения работ:
Р11, Р14® Р12, Р13® Р7, Р10® Р5, Р6, Р8® Р4, Р9® Р1, Р2, Р3.
То есть, сначала выполняются работы Р11 и Р14, после них Р12 и Р13 и т.д. Может быть учтена неравнозначность видов работ, выполняющихся одновременно.
Рисунок 2.1 – Причинно-следственные отношения
Таблица 2.1 – Матрица весов
| Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | Р6 | Р7 | Р8 | Р9 | Р10 | Р11 | Р12 | Р13 | Р14 | Σ |
| Р0 | 0 | 0 | |||||||||||||
| Р1 | 1 | 1 | |||||||||||||
| Р2 | 1 | 1 | |||||||||||||
| Р3 | 1 | 1 | |||||||||||||
| Р4 | 1 | 1 | 2 | ||||||||||||
| Р5 | 1 | 1 | 1 | 3 | |||||||||||
| Р6 | 1 | 1 | 1 | 3 | |||||||||||
| Р7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | ||||||||||
| Р8 | 1 | 1 | 1 | 3 | |||||||||||
| Р9 | 1 | 1 | 2 | ||||||||||||
| Р10 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | ||||||||||
| Р11 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7 | |||||||
| Р12 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 6 | |||||||||
| Р13 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 6 | ||||||||
| Р14 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7 |
2.4.2 Метод анализа иерархий
Это один из достаточно формализованных и классических методов СА, используемый для разрешения проблемы принятия решений в условиях многокритериальности.
Назначение и идея метода: проводится иерархическая декомпозиция проблемы на задачи таким образом, чтобы облегчить человеку принятие решений для отдельных задач на основе парных, а не многокритериальных сравнений. После этого синтез приоритетов проводится математическими методами.
Название метода связано с тем, что сначала для проблемы строится иерархия задач, а затем эти задачи решаются, начиная с нижнего уровня, при этом результат решения задач нижнего уровня используется при решении задач более высоких уровней.
Этап 1. Декомпозиция проблемы и заполнение матриц суждений
Используются три принципа:
Принцип 1. Декомпозиция, при которой производится как структурная, так и функциональная дифференциация.
Пример: Имеется цель купить дом. Есть варианты покупки, различающиеся по эффективности в смысле некоторых плохо структурированных критериев. Проблема представляется иерархически:
· Первый уровень (верхний) – основная цель;
· Второй уровень – критерии:
1 - размеры,
2 - удобство транспорта,
3 - место расположения дома, окружающая среда,
4 - стоимость,
5 - возраст дома, состояние,
6 - наличие гаража и приусадебного участка и т.д.;
· Третий уровень – претенденты (альтернативы) на покупку.
Принцип 2. Элементы нижнего (i-го) уровня должны быть попарно сравнимы по отношению к элементам более высокого ((i-1) –о) уровня.
Принцип 3. Сопоставление вариантов производится на основе принципа дискриминации суждений, то есть элементы сравниваются попарно с точки зрения их воздействия на результат (на элемент более высокого уровня иерархии) и представляются в виде квадратной матрицы (для второго уровня в примере размер матрицы равен 6х6). Каждый элемент имеет свой вес, определяемый, например, экспертом.
Заполнение матрицы идет в произвольном порядке по правилу: если элемент строки важнее элемента столбца, то в соответствующую ячейку ставится число rÎ [1; 9] (значение определяет степень важности одного элемента относительно другого), в противном случае ставится число r-1.
Для каждого критерия строится аналогичная матрица сравнительной оценки вариантов, например, домов А, В, С и D.
Таблица 2.2 – Цели
| Цель | Кр1 | Кр2 | Кр3 | Кр4 | Кр5 | Кр6 |
| Кр1 | 1 | ½ | 1/3 | ¼ | 4 | 3 |
| Кр2 | 2 | 1 | ½ | 1/3 | 1/4 | ¼ |
| Кр3 | 3 | 2 | 1 | 1/3 | 1 | ½ |
| Кр4 | 4 | 3 | 3 | 1 | 1 | ½ |
| Кр5 | ¼ | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Кр6 | 1/3 | 4 | 2 | 2 | 1 | 1 |
Таблица 2.3 – Связи для каждого критерия
| Кр1 | А | В | С | D | … | Kp6 | A | B | C | D |
| A | 1 | ½ | 1/3 | 2 | … | A | 1 | 2 | 1/3 | ¼ |
| B | 2 | 1 | ½ | 1 | … | B | ½ | 1 | 2 | 1/3 |
| C | 3 | 2 | 1 | 1 | … | C | 3 | ½ | 1 | ½ |
| D | 1 | 1 | 1 | 1 | … | D | 4 | 3 | 2 | 1 |
Приблизительная связь приоритета (веса) и лингвистической оценки:
1/1 – равный вес;
3/1 –слабое предпочтение;
5/1 - довольно сильное предпочтение;
7/1 – сильное предпочтение;
9/1 – очень сильное предпочтение.
Сравнение критериев ведется обычно по трем критериям:
· что важнее (обычно для критериев),
· что более вероятно (для сценариев),
· что более предпочтительно (для альтернатив).
Этап 2. Синтез приоритетов
Это один из способов решения проблемы многокритериальности. Синтез приоритетов (СП) – это вычисление собственных векторов, которые после нормализации и являются векторами приоритетов. Собственные векторы искать сравнительно трудоемко, поэтому достаточно близкие оценки можно получить с помощью геометрического среднего, для чего элементы каждой строки перемножаются, и из результата извлекается корень n-й степени.
Например, для Кр1 в матрице целей:
Кр1:1*1/2*1/3*1/4*4*3 = ½ Þ
,Кр2: 2*1*1/2*1/3*1/4*1/4 = 0,0417 Þ
,Кр3: 3*2*1*1/3*1*1/2 = 1 Þ
,Кр4: 4*3*3*1*1*1/2 = 18 Þ
,Кр5: ¼*4*1*1*1*1 = 1 Þ
,Кр6:1/3*4*2*2*1*1 = 16/3 Þ
.Далее оценки нормируются путем деления на сумму
;α1 = 0,917 / 6,193 = 0,148;α4 = 1,435 / 6,193 = 0,23;
α2 = 0,616 / 6,193 = 0,1;α5 = 1 / 6,193 = 0,16;
α3 = 1 / 6,193 = 0,16;α6 = 1,23 / 6,193 = 0,198.
Полученные оценки – это матрица – строка приоритетов критериев α(1х6) .
Далее для каждого из домов (альтернатив) рассчитываются приоритеты в смысле каждого из критериев:
Для критерия Кр1 получим:
для А:
,для В:
,для С:
,для D:
.Сумма равна 0,76 + 1 + 1,56 + 1 = 4,32, поэтому нормированные значения приоритетов:
.