Теоретические основы и методы системного анализа оптимизации управления принятия решений и (стр. 2 из 8)

, (1.3)

где

; n – число узлов графа (количество состояний);

m_j

- интенсивности переходов по дугам, входящим в i-й узел;

r_i – число дуг, входящих в i-й узел;

l_k

- интенсивности переходов по дугам, исходящим из i-го узла;

m_i – число дуг, выходящих из i-го узла;

P_i и P_j – вероятности нахождения системы в i-м и j-м состояниях соответственно.

Заметим, что

.

Установившееся значение вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяется из условия

.

Тогда для системы с n состояниями имеем систему из (n + 1) уравнений с n неизвестными:

; . (1.4)

Одно из уравнений (1.4) можно отбросить, так как оно может быть получено из (n - 1) оставшихся.

Пример. Примем l₂₁ = 0,1, l₃₂ = 0,2, l₄₃ = 0,3, l₁₄ = 0,4, l₂₄ = 0,5. Тогда получаем:

l₁₄^.Р₄ - l₂₁^.Р₁ = 0

l₂₁^.Р₁ + l₂₄^.Р₄ - l₃₂^.Р₂ = 0

l₃₂^.Р₂ - l₄₃^.Р₃ = 0

l₄₃^.Р₃ – (l₁₄ + l₂₄)^.Р₄ = 0

Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ = 1.

Из системы отбросим второе уравнение и получим:

- 0,1^.Р₁ + 0^.Р₂ + 0^.Р₃ + 0^.Р₄ = 0

0^.Р₁ + 0,2^.Р₂ – 0,3^.Р₃ + 0^.Р₄ = 0

0^.Р₁ + 0^.Р₂ + 0,3^.Р₃ – 0,9^.Р₄ = 0

1^.Р₁ + 1^.Р₂ + 1^.Р₃ + 1^.Р₄ = 1.

Решение полученной системы: Р₁ = 0,32, Р₂ = 0,36, Р₃ = 0,24, Р₄ = 0,08.

Расчет энтропий ведется по формуле

.

Для исходного состояния

Э₀ = -4 ^. 0,25 ^.log₂0,25 = 2,

Для конечного состояния

Э_к = - (0,32 ^.log₂0,32 + 0,36 ^.log₂0,36 + 0,24 ^.log₂0,24 + 0,08 ^.log₂0,08) = 1,835.

То есть, изменение энтропии составляет

DЭ = Э₀ – Э_к = 2 – 1,835 = 0,165.

Существуют два основных подхода к расчету энтропий систем и ценности информации.

Первый подход основан на декомпозиции исходной задачи на этапы вычисления вероятностей апостериорной и априорной вероятности элементарных событий.

Методика расчета включает:

· декомпозицию исходной задачи на последовательность таких элементарных событий, априорная вероятность которых известна, а апостериорная может быть легко рассчитана;

· расчет энтропий (или ценности информации) каждого элементарного события;

· вычисление изменения энтропии исходного состояния по отношению к конечному (или ценности информации) путем суммирования изменений энтропий элементарных этапов (переходов, событий).

Данный подход позволяет избежать вычисление вероятности сложных событий.

Второй подход основывается на использовании условных вероятностей событий. Последние иногда рассчитать довольно сложно.

Таким образом, энтропия выступает в качестве меры хаоса, беспорядка и ее снижение означает увеличение организации.

Для информационных систем степень организации очень часто зависит от количества информации, которая может быть использована для управления.

1.2 Количество информации

В теории информации количество информации часто измеряют в битах (binarydigital), где бит, определяется как ценность I информации об исходе двух равновероятных событий. Например, эта информация о том, что сейчас день, а не ночь.

Вероятность каждого из событий

Р(Д) = 0,5; Р(Н) = 0,5;

I = log₂

, (1.5)

где Р₁(х) – апостериорная вероятность; Р₂(х) – априорная вероятность.

Для примера:

Кроме битов (термин ввел Тьюки) используются

«нат»

и

«дит»

.

1.3 Классификация систем

Существует достаточно большое число классификационных признаков (свойств) систем, в частности:

· открытость – замкнутость (отсутствие связи с внешней средой);

· детерминированность (определенность) – стохастичность (случайность);

· простота – сложность;

· наличие цели – отсутствие цели;

· субстанциональные признаки (по этим признакам выделяют: естественные, концептуальные, искусственные системы);

· наличие направленности связей и характер связей: не направленные, обратные, линейные, нелинейные;

· наличие или отсутствие иерархии элементов в системе;

· эволюционирующие – не эволюционирующие (жесткие, не адаптируемые) системы;

· непрерывные – дискретные;

· по физическому наполнению: вещественные, энергетические, информационные и т.д.;

· по мощности связей: коэффициенты связи, интенсивности, чувствительности, коэффициенты корреляции и т.д.;

· по роли связи: ограничивающая, координирующая, положительная, отрицательная.

Для характеристики свойств систем выделяют факторы:

· системосоздающие;

· системоразрущающие;

· системозначимые (свойства, характеризующие интегративное качество, в том числе вне системы);

· системоопределяющие (свойства определяют интегративное качество системы) и др.

По признаку «сложность» выделяются два типа систем (простые - сложные). Существует несколько аспектов, по которым система может классифицироваться как простая или сложная. Достаточно общее с практической точки зрения определение сложной системы: это такая система, анализ и прогноз изменения состояния которой невозможен с заданной точностью и заданным временем.

Для искусственных систем, к которым относится подавляющее большинство систем, создаваемых человеком, выделяют три основных уровня формулирования цели:

1) цель не очень ясна (целенаправленные системы);

2) цель ясна и намечены пути ее достижения (целеустремленные системы);

3) цель определена и формализована на уровне математической постановки, есть алгоритм достижения цели (алгоритмические системы).

Реальные постановки проблем могут представлять собой промежуточные варианты перечисленных случаев.

1.3.1 Классификация систем по сложности

Определение большой системы

Существует ряд подходов к разделению систем по сложности. В частности, Г.Н. Поваров в зависимости от числа элементов, входящих в систему, выделяет четыре класса систем:

· малые системы (10...10³ элементов);

· сложные системы (10⁴...10⁷ элементов);

· ультрасложные системы (10⁷. ..10³⁰ элементов);

· суперсистемы (10³⁰.. .10²⁰⁰ элементов).

Так как понятие элемента возникает относительно задачи и цели исследования системы, то и данное определение сложности является относительным, а не абсолютным.

Английский кибернетик С. Бир классифицирует все кибернетические системы на простые и сложные в зависимости от способа описания: детерминированного или теоретико-вероятностного. А. И. Берг определяет сложную систему как систему, которую можно описать не менее чем на двух различных математических языках (например, с помощью теории дифференциальных уравнений и алгебры Буля).

Очень часто сложными системами называют системы, которые нельзя корректно описать математически, либо потому, что в системе имеется очень большое число элементов, неизвестным образом связанных друг с другом, либо неизвестна природа явлений, протекающих в системе.

Четкое определение и критерии сложных систем (СС) в настоящее время отсутствуют. Однако есть признаки, такие как, многомерность, многосвязность, многоконтурность, а так же многоуровневый, составной и многоцелевой характер построения, по которым можно отнести модель к классу СС. Данный термин использовался в работах научной школы А.А. Вавилова.

При разработке сложных систем возникают проблемы, относящиеся не только к свойствам их составляющих элементов и подсистем, но также к закономерностям функционирования системы в целом. При этом появляется широкий круг специфических задач, таких, как:

· определение общей структуры системы;

· организация взаимодействия между элементами и подсистемами;

· учет влияния внешней среды;

· выбор оптимальных режимов функционирования системы;

· оптимальное управление системой и др.

Чем сложнее система, тем большее внимание уделяется этим вопросам. Математической базой исследования сложных систем является теория систем. А при современном информационно-технологическом обеспечении внешней среды любой системы, исследование такой системы берут свои начала как из теории систем, так и из теории чисел, теории информации и других теорий. В теории систем большой системой (сложной, системой большого масштаба, LageScaleSystems) называют систему, если она состоит из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов и способна выполнять сложную функцию.