Теория игр 2 (стр. 4 из 5)
Свойство 1. Тройка (хо, yо, u) является решением игры G = (Х,Y,А) тогда и только тогда, когда (хо, yо, кu +а) является решением игры G(Х,Y,кА+а), где а – любое вещественное число, к > 0.
Свойство 2. Для того, чтобы хо = (
) была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей А и ценой игры u, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств 
(j = 
) 
Аналогично для игрока 2 : чтобы yо = (
, ..., 
, ..., 
) была оптимальной смешанной стратегией игрока 2 необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств: 
(i = 
) 
Из последнего свойства вытекает: чтобы установить, является ли предполагаемые (х, y) и u решением матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они неравенствам (*) и (**). С другой стороны, найдя неотрицательные решения неравенств (*) и (**) совместно со следующими уравнениями
, 
получим решение матричной игры.
Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х1, ..., хm), y = (y1, ..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры u должны удовлетворять соотношениям.
Разделим все уравнения и неравенства в (4.4) и (4.5) на u (это можно сделать, т.к. по предположению u > 0) и введём обозначения:
, 
,Тогда (1) и (2) перепишется в виде:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры u была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений pi
, при которых 
, . 
Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры u была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений qj,
, при которых 
, 
. 
Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП).
Решив эти задачи, получим значения pi
, qj и u.Тогда смешанные стратегии, т.е. xi и yj получаются по формулам: 
4.1 Решение задач
Пример 5: Найти решение игры, определяемой матрицей.
Решение.
Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :
Решим вторую из них
| Б.п. | q1 | q2 | q3 | q4 | q5 | q6 | Решение | å | Отношение |
 | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | -3 | |
 q4 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 | — |
| q5 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 4 |  |
| q6 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 5 | — |
| Б.п. | q1 | q2 | q3 | q4 | q5 | q6 | Решение | å | Отношение |
 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
  q4 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 |  |
| q3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 4 | — |
| q6 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 5 |  |
| Б.п. | q1 | q2 | q3 | q4 | q5 | q6 | Решение | å | Отношение |
 |  | 0 | 0 |  | 1 | 0 |  |  | |
| q2 |  | 1 | 0 | | 0 | 0 | |  | |
| q3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 4 | |
| q6 |  | 0 | 0 |  | 0 | 1 | | |
Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что
(q1, q2, q3) = (0;
; 1),а из соотношений двойственности следует, что
( p1, p2, p3) = (
; 1; 0).Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А1 равна
. 
,а игры с платёжной матрицей А:
.