Распределенная система терминального управления техническим объектом (стр. 6 из 15)

Описанное в приведенных работах направление базируется на теории оптимизации квадратичных функционалов. Ввиду этого все рассмотренные подходы отличает повышенная трудность решений. В тоже время в постановках задач отмечаются следующие особенности. У большинства авторов невязки по фазовым координатам в конечный момент времени T включены в функционал. Зачастую кроме этих невязок функционал ничего другого не содержит. Следовательно, в этих случаях достигается единственная цель – перевод объекта в конечное фазовое состояние. Никакие дополнительные требования к фазовой траектории не предъявляются. Таким образом, сложные вариационные методы применяются здесь лишь как средство решения краевой задачи.

В большинстве рассмотренных работ управляемый объект переводится в начало координат фазового пространства. Так как при этом заданные конечные значения фазовых координат равны нулю, то в окончательные выражения для управлений они не входят. Нужно особо подчеркнуть, что перевод фазовой точки в начало координат или в произвольную точку фазового пространства – не одно и то же. Конечные значения фазовых координат входят в формулы для управлений со своими весовыми коэффициентами (3.4) и определение этих коэффициентов является составной частью задачи синтеза.

В некоторых работах требуется в течение заданного времени Т < Tопт перевести фазовую точку на возможно близкое расстояние к началу координат. Так как в этом случае конечное фазовое состояние объекта неизвестно, то оно также не входит в окончательные формулы.

Найденные оптимальные управления, как правило, принадлежат классу кусочно-непрерывных функций времени, мгновенно переключающихся с одного ограничения на другое.

Таким, образом, построенные на этой основе САУ не имели, бы обратных связей и не могли бы противодействовать внешним возмущениям. Кроме того, переключательные управляющие функции недопустимы для значительного числа управляемых объектов из соображений безопасности, прочности и т.д. По этой причине они не нашли достаточного практического применения в технике.

Оценивая данное направление в целом, следует заключить, что оно не дало пока приемлемых для инженерной практики решений. И может быть применено лишь в некоторых ограниченных случаях.

3.2 Чисто терминальная постановка задачи

Как указывалось выше, вариационная постановка задачи поиска терминального управления используется лишь с единственной целью – свести эту задачу к известному классу и применить достаточно разработанный, хотя и сложный метод решения.

Очевидно, что в этих случаях вариационный метод используется лишь как инструмент для решения краевой задачи. При наличии простых специальных методов решения краевых задач от вариационной постановки можно было бы отказаться ввиду математических сложностей, к которым она приводит. Вариационные методы должны использоваться там, где они действительно необходимы.

Иное направление в решении терминальной проблемы дает поиск управлений в заданном классе непрерывных функций или поиск управлений, реализующих заданное движение системы.

Невариационный, или чисто терминальный, подход был впервые предложен Грином в 1961 г. для управления мягкой посадкой космического аппарата [7]. Поиск управления, представляющего собой заданное ускорение объекта, производился в классе постоянных во времени функций u = Со, которые реализуют равномерно замедленное движение. При переходе к замкнутой форме этот закон принимает вид

, (3.5)

где u – заданное ускорение аппарата; V – текущая вертикальная скорость аппарата; R – оставшееся до посадочной площадки расстояние. Однако этот закон имеет существенный недостаток: в момент приземления знаменатель в (3.5) обращается в нуль. Если устранить эту особенность в конечной точке, то закон примет вид

. (3.6)

Требуемое время выполнения задачи в закон (3.6) не входит, поэтому он разомкнут по времени. Следовательно, время перевода объекта из начальной точки в конечную задавать нельзя. Однако его можно вычислить по формуле

, (3.7)

где

и – соответственно начальное и конечное фазовые состояния объекта.

Закон управления (3.4), реализующий движение с линейно-изменяющимся ускорением,

(3.8)

был получен в [8] и использовался для посадки вертикально взлетающего самолета.

Необходимо подчеркнуть, что этот закон получен не путем минимизации функционала (3.3), а совершенно иным методом. Управление искалось в классе линейных функций (3.8), а неизвестные коэффициенты Со и С1 определялись из конечных условий.

Закону (3.4) также присуща особенность в конечной точке: при t = Т его знаменатель обращается в нуль. В [9] предложен способ устранения особенности, реализующий погоню управляемого объекта за ведущей фазовой точкой на постоянном временном интервале. В результате (3.4) преобразуется к виду

, (3.9)

где коэффициенты k0, k1, k2, k3 зависят от начального и конечного фазовых состояний объекта, а также заданного времени перехода Т; коэффициенты kx1, kx2 зависят от временного интервала DТ; x1, x2, t – текущие значения фазовых координат объекта и времени, отсчитываемые с начала момента движения.

Закон (3.9) является замкнутым по времени, так как позволяет задавать требуемое время перевода объекта из начального состояния в конечное.

Оценивая в целом описанное в данном разделе направление, следует отметить присущую ему простоту алгоритмов и методов.

3.3 Синтез терминального управления, реализующего заданное движение системы

В [2] описана методика расчета терминальных управлений в заданном классе функций. В соответствии с этой методикой управляющая функция с некоторыми неизвестными параметрами подается на вход управляемого объекта, структурная схема которого в простейшем случае может быть представлена в виде цепочки интеграторов. В результате последовательного интегрирования входной функции находится выражение для выходной функции, в которое войдут все неизвестные параметры входной функции. Из конченых условий, наложенных на выходную функцию, определяются значения неизвестных параметров управления. Очевидно, что решение будет однозначным, если число неизвестных параметров и число конечных условий равны.

При несложных структурных схемах объектов интегрирование с целью получения выражения для выходной функции не представляет труда и метод синтеза управлений достаточно прост. Однако на практике зачастую приходится иметь дело с довольно сложными объектами с нелинейностью в прямом и обратном каналах и внутренними обратными связями, замыкающимися не обязательно на вход системы. В этом случае получение выражения для выходной функции представляет собой значительную сложность. Для решения этой проблемы Батенко предложено выходную функцию не искать, а задавать. Вначале определяются из конечных условий ее неизвестные параметры, а затем, при движении по структурной схеме справа налево и последовательном дифференцировании выходной функции, получают управляющую функцию, приложенную к входу.

Предположим, что движение управляемого объекта r-го порядка описывается уравнением [2]

. (3.10)

Его выходной функцией служит x(t), а управляющей u(t). Будем задавать желаемое движение объекта в классе непрерывных r раз дифференцируемых функций. Согласно теореме Вейерштрасса о приближении любая непрерывная функция может быть аппроксимирована полиномом с любой наперед заданной точностью. Поэтому в качестве функции, задающей требуемое движение, может быть выбран полином от времени следующего вида

, (3.11)

который содержит r+n неизвестных параметров Ci. Здесь r – число начальных, а n–число конечных условий; из этих условий однозначно определяются параметры полинома (3.11).

Выбор полиномов в качестве класса функций, задающих требуемое движение объекта, имеет следующие преимущества. При любых линейных преобразованиях полином остается полиномом, изменяется только его степень. Его неизвестные параметры Ci определяются в результате решения алгебраических уравнений, кроме того, эти коэффициенты могут быть определены с помощью рекуррентных соотношений, приведенных ниже.

Рассмотрим вначале простейший класс управляемых объектов – цепочку интеграторов r-го порядка. Этот объект замечателен тем, что его фазовыми координатами служат выходная функция и r-1 ее производных. Все соотношения, которые будут получены для цепочки интеграторов, найдут применение и для объектов произвольной структуры.

Движение объекта, составленного из r последовательно включенных интеграторов, описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

. (3.12)

Требуется найти такое управление u, которое переводит объект в течение времени Т из начального фазового состояния

в конечное, обеспечивая выполнение n конечных условий .