Теорему можно выразить следующим : по первому символу после нетерминала необходимо выбрать применимое правило - следовательно эти символы различны и пересечение пусто. Эта теорема может применяться к LL(k)- грамматикам, но не всегда выполняться. Грамматики для которых выполняется теорема называются сильными, таким образом все LL(1) грамматики - сильные. Необходимо так же заметить что каждая LL(k)- грамматика однозначна, поэтому если имеется неоднозначная грамматика - то она не LL(k). Имеется неразрешимая проблема распознавания, существует ли для данной КС-грамматики G, не являющейся LL(k), эквивалентная ей LL(k)- грамматика. Однако в ряде случаев такое преобразование возможно. Применяется два способа:
Первый способ - устранение левой рекурсии.
ПРМ: Пусть G - грамматика S®Sa|b которая не является LL- грамматикой. Заменим правила на следующие:
S ®bS`
S`®aS`|e
получив при этом эквивалентную LL(1)- грамматику.
Другой способ - левая факторизация.
ПРМ: Рассмотрим LL(2)- грамматику G с двумя правилами S®aS|a. В этих двух правилах «вынесем влево за скобки» символ a, записав их в виде S®a(S|e). Иными словами, мы считаем что операция конкатенации дистрибутивна относительно операции выбора альтернативы (обозначаемой вертикальной чертой). Заменим эти правила на :
S®aA
A®S|e
тем самым получим эквивалентную LL(1)-грамматику.
Разбор для LL(1)- грамматик.
Ядром предсказывающего алгоритма является управляющая таблица. В этом и следующих разделах будет показано как построить корректную управляющую таблицу.
АЛГ 1: Управляющая таблица для LL(1)-грамматики.
Вход : LL(1)- грамматика .
Выход : Корректная управляющая таблица.
Метод : Будем считать, что $-маркер дна магазина. Таблица определяется следующим образом:
(1) Если A ® a` - правило из P с номером i, то M[A,a]=(a`,i) для всех a¹e, принадлежащих FIRST1(a`). Если eÎFIRST1(a`), то M[A,b]=(a`,i) для всех bÎFOLLOW1(A).
(2) M[a,a]=выброс для всех aÎE.
(3) M[$,e]=допуск.
(4) В остальных случаях M[X,a]=ошибка для XÎNÈEÈ{$} и aÎEÈ{e}.
ТРМ: Предложенный алгоритм строит корректную управляющую таблицу для LL(1)- грамматики G.
Разбор для LL(k)- грамматик.
Построим управляющую таблицу для произвольной грамматики. Если грамматика сильная, то можно применить предыдущий алгоритм с аванцепочками расширенными до k символов. В противном случае возникает несколько проблем. В 1-м предсказывающем алгоритме разбора в магазин помещались только символы из EÈN и оказывалось, что для однозначного определения очередного применяемого правила достаточно знать нетерминальный символ наверху магазина и текущий входной символ. Для не сильных грамматик этого может оказаться недостаточно.
ПРМ: Возьмем грамматику
S®aAaa|bAba
A®b|e
Если даны нетерминал A и аванцепочка ba, то не известно, какое из правил надо применить.
Неопределенности такого рода однако можно разрешить, связав с каждым нетерминалом и частью левовыводимой цепочки (которая может оказаться справа), специальный символ, называемый LL(k)- таблицей. По данной аванцепочке LL(k)- таблица будет однозначно определять какое правило надо применить на очередном шаге вывода.
ОПР: Пусть E - некоторый алфавит. Если L1 и L2 - подмножества E, то положим L1 Åk L2 = {
w | для некоторых xÎL1 и yÎL2
либо w = xy, если |xy| £k
либо w состоит из первых k символов цепочки xy
}
ЛМА: Для любой КС- грамматики G=(N,E,P,S) и любых a`, b`Î(NÈE) :
FIRSTk(a`b`)=FIRSTk(a`) Åk FIRSTk(b`)
ОПР: Пусть G=(N,E,P,S) - КС- грамматика. Для каждых AÎN и LÍE определим LL(k)- таблицу Ta,l, соответствующую A и L, как функцию T(u), значением которой служит :
(1) =ошибка, если в P нет такого правила A®a`, что FIRSTk(a`) Åk L содержит u;
(2) =(A®a`,<Y1,Y2...Ym>), если A®a` - единственное правило из P, для которого FIRSTk(a`) Åk L содержит u;
(3) не определено, если в множестве найдутся два и более правила (эту ситуацию называют конфликтом между правилами)
На нормальном языке это означает что вырабатывается значение ошибка, если u вообще не является цепочкой грамматики, возвращается правило если оно существует и только одно и если несколько правил - то значение не определяется.
АЛГ 2: Построение LL(k)- таблиц.
Вход: LL(k)- грамматика G=(N,E,P,S).
Выход: Множество TG LL(k)- таблиц, необходимых для построения управляющей таблицы для G.
Метод:
(1) Построить LL(k)- таблицу T0, соответствующую S и {e}.
(2) Положить вначале TG={T0}.
(3) Для каждой LL(k)-таблицы TÎTG, содержащей элемент T(u)=(A®x0B1x1...Bmxm,<Y1,Y2...Ym>) включить в TG LL(k)- таблицу T для 1£i£m, если T еще не входит в TG.
(4) Повторять шаг 3 пока в TG можно включать новые таблицы.
ПРМ: Построим соответствующее множество LL(2)- таблиц для грамматики S®aAaa|bAba и A®b|e. Начнем с TG={TS,{e}} . Так как TS,{e}(aa)=( S®aAaa,{aa}), то в TG надо включить TA,{aa}. Аналогично, так как T0(bb)=( S®bAba,{ba}), то в TG нужно так же включить . (Элементы LL(2)- таблиц TA,{aa} и TA,{ba}, отличные от значения ошибка, приведены в таблице ниже). Сейчас TG={TS,{e},TA,{aa},TA,{ba}}, и алгоритм уже не может включить в TG новых таблиц, так что это три LL(2)- таблицы образуют множество соответствующее грамматике.
TA,{aa} TA,{ba}
u правило множества u правило множества
ba A ® b - ba A ® e -
aa A ® e - aa A ® b -
Теперь дадим алгоритм, которым можно построить корректную управляющую таблицу по соответствующему множеству LL(k)- таблиц. Управляемый этой таблицей k- предсказывающий алгоритм будет в качестве магазинных символов употреблять вместо нетерминалов LL(k)- таблицы.
АЛГ 3: Построение управляющей таблицы для LL(k)- грамматики.
Вход : LL(k)- грамматика и соответствующее множество TG LL(k)- таблиц.
Выход : Корректная управляющая таблица M для G.
Метод: M определяется на множестве (TGÈEÈ{$})´E*k следующим образом:
(1) Если A®x0B1x1...Bmxm - правило из P с номером i и TA,LÎTG, то для всех u, для которых TA,L(u)=(A®x0B1x1...Bmxm,<Y1...Ym>) полагаем M[TA,L,u]=(x0TB1,Y1...TBm,Ymxm,i).
(2) M[a,av]=выброс для всех vÎE*(k-1).
(3) M[$,e]=допуск.
(4) В остальных случаях M[X,u]=ошибка
(5) TS,{e} - начальная таблица.
ПРМ: Построим управляющую таблицу для LL(2)- грамматики
(1) S®aAaa
(2) S®bAba
(3) A®b
(4) A®e
используя соответствующее ей множество LL(2)-таблиц, найденное в предыдущем примере. Алгоритм должен выдать таблицу:
aa ab a ba bb b e
T0 aT1aa,1 aT1aa,1 bT2ba,2
T1 e,4 b,3
T2 e,4 b,3
a выброс выброс выброс
b выброс выброс выброс
$ допуск*
где T0=TS,{e}, T1=TA,{aa} и T2=TA,{ba}. Подразумевается, что в пустых ячейках - ошибка. Допуск* находится в последней колонке. Для входной цепочки bba 2-предсказывающий алгоритм выдаст такую последовательность тактов:
(bba,T0$,e) |- (bba,bT2ba$,2)
|- (ba,T2ba$,2)
|- (ba,ba$,24)
|- (a,a$,24)
|- (e,$,24)
ТРМ: Описанный алгоритм строит для LL(k)- грамматики G=(N,E,P,S) корректную таблицу, управляющую работой соответствующего k- предсказывающего алгоритма.
ПРМ: Рассмотрим LL(2)- грамматику G с правилами:
(1) S®e
(2) S®abA
(3) A®Saa
(4) A®b
Построим соответствующие LL(2)-таблицы. Начнем с T0=TS,{e}. Затем по T0 найдем T1=TA,{e}, далее T2=TS,{aa} и T3=TA,{aa}:
T0 T2
u правило множества u правило множества
e S ®e - aa S ®e -
ab S ®abA {e} ab S ®abA {aa}
T1 T3
u правило множества u правило множества
b A ®b - aa A ®Saa {aa}
aa A ®Saa {aa} ab A ®Saa {aa}
ab A ®Saa {aa} ba A ®b -
По этим таблицам построим управляющую таблицу:
aa ab a ba bb b e
T0 abT1,2 e,1
T1 T2aa,3 T2aa,3 b,4
T2 e,1 abT3,2
T3 T2aa,3 T2aa,3 b,4
a выброс выброс выброс
b выброс выброс выброс
$ допуск
Алгоритм построенный по таблице разберет цепочку abaa следующим образом:
(abaa,T0$,e) |- (abaa,abT1$,2)
|- (baa,bT1$,2)
|- (aa,T1$,2)
|- (aa,T2aa$,23)
|- (aa,aa$,231)
|- (a,a$,231)
|- (e,$,231)
ТРМ: Число шагов, выполняемых k- предсказывающим алгоритмом с управляющей таблицей, построенной предыдущим алгоритмом по LL(k)- грамматике G, линейно зависит от n, где n - длинна входной цепочки.
Проверка LL(k)- условия.
По отношению к произвольной данной грамматике G возникает ряд естественных вопросов:
(1) Является ли G LL(k)- грамматикой для данного k ?
(2) Существует ли такое k, что G - LL(k)- грамматика?
(3) Так как для LL(1) левые разборы строятся особенно просто, то если G не LL(1)- грамматика, то существует ли эквивалентная ей LL(1)- грамматика G’, для которой L(G) = L(G’)?
К сожалению, только для первого вопроса есть отвечающий на него алгоритм. Можно показать, что вторая и третья проблемы алгоритмически не разрешимы, но это доказательство не приводится. Приведем алгоритм проверки LL(k)- условия:
АЛГ 4: Проверка LL(k)- условия.
Вход: КС- грамматика G=(N,E,P,S) и целое число k.
Выход: «Да» - если G - LL(k)- грамматика и «Нет» в противном случае.
Метод:
Суть алгоритма сводится к следующему: Для каждого нетерминала, имеющего два или более правила раскрутки вычисляется пересечение первых k- символов всех возможных цепочек раскрутки. Если это множество пусто, то переходят к следующему терминалу, иначе заканчивают со значением «Нет». Если все пересечения пусты - заканчивают со значением «Да». Для получения пересечения двух правил можно воспользоваться записью: (FIRSTk(b`) ÅkL)Ç(FIRSTk(c`) ÅkL), где L=FIRSTk(a`) и a` - цепочка символов после терминала.