О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике (стр. 1 из 2)
Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «БУРОВАЯ ТЕХНИКА»
В силу чрезвычайной сложности физических процессов, имеющих место при строительстве и эксплуатации скважин, в бурении, прежде всего, ценится практический опыт. Именно ему отдается предпочтение при принятии окончательных технологических решений. В данной работе сделана попытка показать, что теоретические исследования специфических особенностей процесса бурения, приводящие к новым результатам, также могут быть весьма плодотворными.
Классическим примером фундаментальной теоретической проблемы бурения является управление динамикой бурильной колонны. Первым ученым, который рассмотрел статику и динамику стержней, находящихся под действием собственного веса, был знаменитый Леонард Эйлер. Анализируя динамическое уравнение Эйлера, академик Л.С. Лейбензон высказал уверенность в том, что создание гидравлических двигателей, расположенных у долота, ослабит подверженность колонны неуправляемым поперечным колебаниям [1]. Изобретатель редукторного турбобура М.А. Капелюшников, анализируя неуправляемое искривление скважин, подтвердил высказанное Лейбензоном мнение [2]. К сожалению, эти ожидания не оправдались. В данной статье мы, в частности, укажем причины, в силу которых это произошло.
Расчеты американских специалистов [3], начавшиеся в 50-е годы XX века, основанные исключительно на плоских статических моделях, оказали сильное влияние на теоретические представления о поведении колонн и искривлении скважин. До сих пор большинство расчетов бурильной колонны базируется на этих представлениях, хотя нами были проанализированы ошибки А. Лубинского, его коллег и последователей [4-6]. Там же впервые установлено, что статический подход может давать удовлетворительные результаты только в отдельных частных случаях. Специфическая зависимость устойчивого поведения колонны от таких важнейших факторов, как измеренная глубина скважины и распределенная нагрузка собственного веса, также была установлена в [4-6].
Данная работа посвящена некоторым вопросам управления динамикой бурильной колонны и начинается она с исследования влияния такого важного фактора, как крутящий момент. Показано, что его воздействие на поведение колонны определяется не его величиной, а возможным изменением характера выхода колонны из состояния статического равновесия. Дело в том, что, как показано ниже, скручиваемая колонна теряет устойчивость не путем статического изгиба, а по типу флаттера, т.е. подводимая к колонне энергия преобразуется в энергию поперечных колебаний с растущей по времени амплитудой. Стенки скважины ограничивают амплитуду колебаний колонны, и в силу этого она вовлекается в прецессионное движение, бьется о стенки скважины, а долото формирует многоугольный забой, что является причиной целого ряда осложнений.
В задачах бурения наиболее часто взаимодействие долота с забоем интерпретируется как граничное условие опирания в шаровом шарнире. Вместе с тем в [7] можно найти замечание о неконсервативности задачи о сжато-скрученном невесомом стержне, подчиненном граничным условиям типа шарового шарнира, т.е. о том, что названная задача формально принадлежит к классу задач о стержнях, теряющих свою устойчивость путем развития неуправляемых поперечных колебаний. Далее мы будем пользоваться не физическим понятием консервативности [7], а понятием «самосопряженности», соответствующим математической краевой задаче [8]. Напомним, что самосопряженность означает, что краевая задача для дифференциального уравнения допускает только действительные собственные числа (критические нагрузки), и, следовательно, потеря устойчивости в такой системе по неконсервативной схеме (по схеме возникновения флаттера) [7] невозможна, т.е. «перекачивание» подводимой к системе энергии в ее колебания с растущей по времени амплитудой невозможно.
Для иллюстрации основных теоретических положений, используемых для технологических предложений по обеспечению устойчивости бурильной колонны, необходимо привести и проанализировать нижеследующие дифференциальные и трансцендентные уравнения.
Первоначально необходимо проверить на самосопряженность как дифференциальное выражение, образующее уравнение, так и граничные условия [8].
Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс потери статической устойчивости скручиваемой одноступенчатой колонны, имеет вид:
EJv(4) + Mw(3) + [(F — qx)v(1)](1) = 0;
EJw(4) — Mv(3) + [(F — qx)w(1)](1) = 0 (1)
и оказывается формально самосопряженной [8].
Граничные условия типа заделки:
v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(1) (0) = w(1) (0) = v(1) (L) = w(1) (L) = 0 (2)
и граничные условия полукасания (естественные вариационные) [7]:
v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0;
EJv(2) (0) — M/2∙w(1) (0) = EJw(2) (0) + M/2∙v(1) (0) = 0;
EJv(2) (L) — M/2∙w(1) (L) = EJw(2) (L) + M/2∙v(1) (L) = 0 (3)
также оказываются самосопряженными.
Однако наиболее распространенные граничные условия типа шарового шарнира:
v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(2) (0) = w(2) (0) = v(2) (L) = w(2) (L) = 0 (4)
оказываются несамосопряженными. Заметим, что несамосопряженными условия (4) остаются вне зависимости от наличия распределенной или сосредоточенной нагрузки, но в случае колонны, нагружаемой собственным весом, факт отсутствия действительных критических нагрузок можно установить аналитически.
Введем характерную единицу длины m3 = EJ/q, где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения, q — погонный вес труб. Примем обозначения l = Fm2/EJ, µ = 1/2(M/EJ)m и выполним стандартную комплексификацию системы дифференциальных уравнений (1). Сдвинем на l независимую переменную, обозначая ее z, а для безразмерной измеренной глубины L оставим прежние обозначения. Граничные условия переносятся, соответственно, в точки (-l) и (L-l), а основное комплексное уравнение принимает вид:
. (5)Элементарными выкладками устанавливается явный вид общего решения уравнения (5), в котором граничное условие u(-l) = 0 выполняется тождественно:
(6)Для дальнейших вычислений нам понадобятся выражения элемента a13 специального определителя, возникающего в результате подстановки (6) в граничные условия:
Здесь ai(.) и bi(.)— стандартные специальные функции Эйри [9].
Раскрывая cos[µ(y-x)] по формуле сложения аргументов, пользуясь известной асимптотикой для ai(x) и bi(x) при больших значениях аргумента, нетрудно установить, что a13 ≈ lnL/ при L>>1.
В случае условий шарового шарнира равенство нулю спектрального определителя упрощается к виду:
(7)Поскольку ai(x) и ее производная не обращаются в ноль одновременно в одной и той же точке [9], первое слагаемое (7) не обращается в ноль ни при каких l и µ.
В случае заделки (7) упрощается к виду, в котором отсутствуют ai(1) (— l— µ2) и bi(1) (— l— µ2) , а множитель i µ заменяется на 1 в выражениях в [ ].
В случае полукасательных (по Болотину) условий (7) сводится к отсутствию чисто мнимых слагаемых. Два последних самосопряженных варианта граничных условий приводят к потере устойчивости путем изгиба. При этом действительные значения критических нагрузок слабо (на слагаемое µ2) отличаются от соответствующих значений для плоского случая.
Отсутствие корней уравнения (7) в случае шарнирного опирания означает возможность потери устойчивости бурильной колонны путем развития неуправляемых поперечных колебаний, на которые теряется подводимая к колонне энергия вне зависимости от способа бурения.
Важнейшим результатом наших исследований явилось то, что при использовании ГЗД флаттер колонны может возникнуть из-за реактивного крутящего момента, что не принимали во внимание ни Лейбензон, ни Капелюшников, ни другие авторы.
Для исключения самой возможности флаттера предлагается изменить характер взаимодействия колонны бурильных труб со стенками в соответствии с результатами теоретического изучения не одиночного опорно-центрирующего устройства, а пары ОЦУ.
Обычные ОЦУ обеспечивают непрерывность функции прогиба, ее первой и второй производных (угол наклона и изгибающий момент) и допускают разрыв третьей производной (скачок перерезывающей силы, в нашем случае, реакции со стороны стенки на опору). При рассмотрении нескольких ОЦУ возникает многоточечная разрывная краевая задача, описываемая дифференциальным уравнением изгиба колонны 4-го порядка, приводящаяся к алгебраической системе относительно 4(n+1) произвольных постоянных (n — число ОЦУ). Устойчивые численные методы для решения таких задач предложены в [10-11].
Аналитическое исследование названных задач начинается с представления на каждом участке колонны между ОЦУ общего решения yi дифференциального уравнения, обобщающего дифференциальное уравнение изгиба стержней в виде:
индекс i соответствует номеру участка колонны между опорами, {uk}, k=1,2,3,4 — полная система линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения упругого изгиба стержней (ДУУИС), f(s)-частное решение неоднородного ДУУИС:y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2) + a3∙y(1) + a4∙y = 0, (8)
y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2) + a3∙y(1) + a4∙y = (s). (9)
Рассмотрим для уравнения (9) четырехточечную краевую задачу с двумя внутренними граничными условиями в точках s1 и s2, соответствующую в обычном понимании КНБК с двумя полноразмерными центраторами:
y(0)=y(2)(0)=0; y(L)=y(2)(L)=0; 0<s1 < s2 <L;
y(s1-0)=y(s1+0)=0; y(1)(s1-0)=y(1)(s1+0); y(2)(s1-0)=y(2)(s1+0); (10)
————— - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ————--
y(s2-0)=y(s2+0)=0; y(1)(s2-0)=y(1)(s2+0); y(2)(s2-0)=y(2)(s2+0).
——— — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Осуществим предельный переход s2 — s1= → 0.
Записывая условия (10) с помощью указанной выше формы общего решения (9), получим неоднородную линейную систему уравнений 12-го порядка относительно коэффициентов сik, k=1,2,3,4; i=1,2,3.