Исследование одной модели газотранспортной сети (стр. 2 из 2)
Через точку i,j проходит один временной и один пространственный слой, они пересекаются под углом 90¦ . По правилу 1 для этой точки задействованы окружающие ее 4 точки: (i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1). Причем, зная значения трех узлов по временному или пространственному слою, всегда можно найти оставшиеся два узла по соседним слоям. Схемы, приведенные на рис.3,b), построены с использованием этого свойства.
Если мы знаем во временном слое Qi-1,j,Qi+1,j и Pi,j, то
(3)Правило 2 показывает связь между расходом газа и давлением в каждом временном слое из предположения, что между соседними узлами по давлению установился стационарный режим течения газа.
В идеале, любое нестационарное состояние газа стремится перейти в стационарное. Первоначально v это стационарный режим течения газа, а затем стационарное состояние газа (т.е. выравнивание давления в замкнутом объеме). Тогда в постановке нашей задачи возможны два случая:
Задано распределение давления газа по узлам трубы. Необходимо определить состояние в узлах после определенного промежутка времени без внешних воздействий. Это выравнивание давления в замкнутом пространстве.
Задано распределение давления газа по узлам трубы, задано изменение давления или расхода на одном или обоих концах трубы. Необходимо определить состояние в узлах после определенного промежутка времени, т.е. после внешних воздействий. Это состояние трубы при течении газа.
В данной работе ограничимся случаем 2), так как рассматривается только транспорт газа. То есть заранее заданы изменения P и Q на одном или обоих концах трубы и с учетом начального состояния газа в трубе, его физических параметров необходимо получить конечное его состояние.
Для формулы (3)
v это разница между расходами газа для узла i,j по длине трубы, т.е. 
(4)где
K- - это приведенный коэффициент физических параметров трубы при изотермическом движении и без учета перепада высот на концах трубы;
Sign(Qi,j,Qi+1,j) - это функция, определяющая знак изменения давления в узле i,j на текущем шаге в зависимости от направления и значения окружающих его расходов газа Qi,j и Qi+1,j. Алгоритм выбора отображен на рис.5.
На рис.5 приведен пример, когда Pi-1,j>Pi+1,j (хотя для и Pi-1,j<Pi+1,j правила описанные ниже сохраняются) причем Pi,j может иметь 5 разных значений (1-5) относительно уровней 1-3. Уровень 1 представляет собой значение Pi,j при стационарном течении газа между Pi-1,j и Pi+1,j, уровни 2,3 v это давления на концах трубы.
По рис.5 видно, что увеличение или уменьшение давления в узле i,j зависит от направления и значения окружающих его расходов газа. Для вариантов 4 и 5 давление в узле i,j экстремально, т.е. в четвертом случае Pi,j>Pi-1,j>Pi+1,j, а для пятого случая Pi,j<Pi-1,j<Pi+1,j. Тогда, если направления расходов Qi-1,j, Qi,j совпадают, то при направлении расходов в узел давление увеличивается (вариант 5), при направлении расходов из узла давление уменьшается (вариант 4). Естественно, если расходы равны Qi-1,j=Qi,j по абсолютному значению и противоположны по направлению (сколько газа поступает столько и уходит), то изменения давления не происходит.
Промежуточные варианты 2, 3 складываются из соображений, что, если газа поступает больше чем уходит, то давление повышается, и, наоборот, если поступает меньше чем уходит, то давление падает. Тогда можно обобщить правило определения направления изменения давления в узле:
Для узла трубы давление увеличится, если в него поступает газа больше, чем отбирается. Давление уменьшится , если газа поступает меньше, чем отбирается.
Теперь определим общую схему алгоритма расчета каждого временного слоя всей сети.
Алгоритм расчета состояния временного слоя ГТС
Сначала просчитывают все трубы ГТС. Порядок значения не имеет. Для них определяется давление в узле следующего временного слоя по формуле (3). Необходимо отметить, что в крайних узлах трубы, т.е. на ее концах, давление не считается.
Просчитывается давление следующего временного слоя в узлах всей системы, соединяющих ребра. Для этого необходимо вернуться к определению давления в узле трубы и по аналогии определить схему расчета для узла, соединяющего несколько ребер.
Как видно из рис.6,а) для определения давления следующего временного слоя трубы используется два соседних расхода газа около этого узла. Если исходить из этого, то для узла ГТС нужно выбрать какое-то ребро с расходом Qi, а все остальные расходы сложить с учетом знака в Qi+1. Тогда давление в узле ГТС можно считать по тем же правилам (3), что и для узла трубы. Тем самым мы обобщаем правило расчета давления для любого узла системы:
Давления узла считается по формуле (5):
(5)где
- это сумма расходов газа для всех ребер, относящихся к этому узлу с учетом знака (направления течения газа); 
- это минимальный из 
, прилежащих к текущему узлу сети (т.к., по определению, расход газа между соседними узлами для трубы вычисляется как для стационарного течения газа).Граничные условия для ГТС
Как следует из постановки задачи выше, граничными условиями являются либо задание распределения расхода газа по времени на КС Q(t), либо задание P(t) или Q(t) на подкачках и отборах. Так как для подкачек и отборов задается либо давление, либо расход, то оставшееся неизвестное необходимо определять на каждом временном слое.
Представим, что на одном конце трубы задано P(t), а на другом Q(t). Если мы знаем на каждом временном слое Q(t) для подкачки или отбора, то давление вычисляется по обычной схеме (рис.3). Для P(t) дело обстоит несколько сложнее. На рис.7 рассмотрены оба таких примера.
Из рис.7 следует, что неизвестный расход определяется по известному давлению на следующем временном слое, давлению и расходу текущего слоя.
Заключение
Для доказательства сходимости процесса вычислений по приведенной выше математической модели ГТС были проведены следующие эксперименты. Для трубы с фиксированными физическими параметрами и заданным начальным состоянием по давлению (стационарное течение газа между концами трубы ) наблюдалось выравнивание давления в замкнутом пространстве, то есть при условии, что оба конца трубы закрыты. Каждый эксперимент заключался в изменении числа n (кол-во узлов вдоль трубы на текущий промежуток времени) и числа m (кол-во узлов по времени в определенной точке трубы). В результате была получена сетка m x n значений давления в точке плоскости пространства и времени. На рис.8 значения m и n изменялись в диапазоне 3,....,60. Разброс значений давления P для исследуемой точки (3000сек. на 50м) в полученной сетке максимально равен 1300 Н/м2 (абсолютная погрешность), что составляет около 2% (относительная погрешность) от среднего значения давления в этой точке.
Исследование данной сетки привело к следующим выводам:
Увеличение числа m слабо влияет на увеличение точности вычислений при n>30. В этом случае относительная погрешность составила менее 1% Хотя при 3<n<30 относительная погрешность может достигнуть до 2%.
Увеличение числа n значительно сказывается на относительной погрешности только при m>13 (рис.8b). Однако рекомендуется использовать n>30, т.к. при этом давление в точке равномерно без скачков стремится к своему предельному значению (рис.8d). Природа колебания значения давления около определенной кривой объясняется апроксимацией значения давления разностной схемой решения на грубых сетках. Поэтому лучше использовать n>30, но при этом значительно увеличивать n не имеет смысла., так как увеличится время расчетов.
Необходимо отметить изменение количества вычислений в зависимости от n и m, то есть трудоемкость вычислительного процесса. На рис.9(a-d) представлена поверхность изменения количества вычислений. На ее основе и используя результаты исследований (рис.8) можно сделать вывод об оптимальном сочетании качества и количества вычислений для трубы. Наиболее оптимальными являются значения n=30, m=30 или около этого диапазона. Хотя, конечно, для детализации процесса по времени можно увеличивать значение m, но существенного улучшения относительной погрешности это не даст. Ее изменение составит не более 1%.
http://www.laboratory.ru/articl/math/ram01a.htm 
http://www.laboratory.ru/articl/math/ram01b.htmСписок литературы
Сергованцев В.Т., Кучин Б.Л., Гарляускас А.И., и др. Централизованный контроль и оптимальное управление на магистральных газопроводах. vЛ.: Недра, 1973.
Карманов В.Г. Математическое программирование. vМ.: Наука, 1975.
Фильчиков П.Ф. Справочник по высшей математике. vКиев: Наукова думка, 1974.
Мантуров О.В. Курс высшей математики. vМ.: Высшая школа, 1991
Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. vМ.: Наука, 1987.
Новоселов В.Ф., Гольянов А.И., Муфтахов Е.М. Типовые расчеты при проектировании и эксплуатации газопроводов. vМ.: Недра, 1982.
Бобровский С.А., Щербаков С.Г., Гусейн-Заде М.А. Движение газа в газопроводах с путевым отбором. vМ.: Наука, 1972.
Березина И.В. Ретинский В.С. Оперативное управление системами газоснабжения.
Круг А.Г., Сосоулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. vМ.: Наука, 1977.
Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. vМ.: Высшая школа, 1990.