Якоби проводил исследования почти во всех областях математики. Его первой публикацией была диссертация. Его последняя публикация датирована 10 января 1851 г. Чрезвычайно плодотворное математическое соревнование Якоби с Нильсом Хенриком Абелем (Niels Henrik Abel) привело к построению теории эллиптических функций. Центральной идеей было рассмотреть эллиптический интеграл первого рода не как функцию предела интегрирования, а наоборот, предела интегрирования — как функции интеграла. Беря синус и косинус полученной функции, Якоби получил эллиптические функции. Введение вместе с Абелем мнимых величин выявило двоякую периодичность эллиптических функций и придало теории необычайно элегантный вид, отмеченный Лежандром. Якоби ввел и изучил тета-функции, с помощью которых можно было выразить эллиптические, и которые сам он считал своим лучшим творением в чистой математике. Он вывел формулы для эллиптических интегралов третьего рода. Изучая сложение абелевых интегралов сначала в гиперэллиптическом случае, он доказал теорему Абеля в общем случае. Известна принадлежащая Якоби проблема обращения гиперэллиптических функций, разрешенная в общем виде лишь Риманом (G.F.B. Riemann).
Он существенно продвинулся в решении задачи деления круга и ее приложений к теории чисел, в частности к теории кубических и биквадратичных вычетов. Ему принадлежит обобщение символа Лежандра и формулировки закона взаимности для степенных вычетов пятой и восьмой степеней. Суммы Якоби служат важнейшим инструментом исследования в теории чисел и арифметической геометрии до сегодняшнего дня.
Возникающие в вариационном исчислении дифференциальные уравнения носят имя Якоби. Он ввел и исследовал класс ортогональных многочленов, являющихся обобщением многочленов Лежандра — так называемые многочлены Якоби, и применил их к решению гипергеометрических дифференциальных уравнений. Ему принадлежат методы интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Его имя носит многообразие, обладающее структурой группы, соответствующее всякой алгебраической кривой. Он ввел в употребление функциональные определители — якобианы — и указал на их роль при замене переменных в кратных интегралах и при решении уравнений с частными производными. Он открыл закон инерции квадратичных форм.
В области астрономии он провел численные исследования возмущений эллиптических орбит планет, продвинулся в решении задачи трех тел в небесной механике, указав для нее ряд новых методов, ввел канонические координаты, носящие его имя, доказал теорему исключения узлов, внес существенный вклад в решение задачи определения формы небесного тела. После смерти Бесселя он оказался его научным наследником, рассчитав движение планеты Нептун и тем самым предвосхитив ее открытие.
В физике он создал теорию Гамильтона-Якоби, оказавшуюся весьма плодотворной для дальнейшего развития механики. Он применил эллиптические функции в теории волчка и для расчета геодезических линий на эллипсоиде. Ему принадлежит доказательство теоремы Якоби-Пуассона о выводе новых интегралов из уже известных для произвольной системы дифференциальных уравнений механики. Он сформулировал принцип наименьшего действия в аналитической механике. Якоби отличала тонкая физическая интуиция. Он был единственным из ведущих ученых того времени, сумевшим понять работу Гельмгольца «О возникновении силы».
Во время путешествия по Италии в 1843 г. в одной из застольных речей Якоби был назван представителем истинно практической науки, на что он возразил, что высшая наука, как и искусство, всегда непрактичны и что именно к этому он всегда стремился. В другом месте он заметил, что для науки особая честь — не иметь практической пользы. В письме к Лежандру он писал, что единственной целью науки является уважение человеческого духа и что при таком требовании вопрос о числах столь же ценен, что и вопрос о вселенной. Несмотря на то, что сам он занимался приложениями математики к физике и астрономии, постановку математических задач из физических соображений считал неестественной. Для него, как и для Эйлера с Лагранжем, математика оставалась аналитическим искусством, доставляющим удовольствие. Якоби вслед за Гауссом считал, что математика есть центр науки, что понятия математики есть понятия науки вообще, что все ученые должны стремиться стать математиками. Однажды он написал своему брату Морицу: «Жизнь богов есть математика… моя жизнь подобна жизни богов». Это понимание математики как чистой, не опирающейся на опыт и не зависимой от приложений науки, было перенесено как часть духа кёнигсбергской школы на другие университеты Германии в то время, когда их кафедрами математики руководили бывшие кёнигсбержцы.
В последнюю треть XX века математика приобрела новое лицо. Самые абстрактные идеи и теории, возникшие как порождение чистой логики, неожиданно оказались в центре новых приложений. Более того, они оказались одной из основных движущих сил развития этих приложений. Теория эллиптических функций и теория тета-функций, суммы Якоби и круговые поля, якобианы алгебраических кривых — это весьма неполный перечень созданного Якоби, что спустя более 150 лет со времени их открытия составило математическую основу современных методов защиты информации. В этом и состоит, видимо, печать гения.
Список литературы
1. Дирихле П.Г.Л. Карл Густав Яков Якоби: Биографический очерк, составленный Лежьеном Дирихле для своей речи в память Якоби, произнесенной в заседании Берлинской академии наук 1 июля 1852 г.
2. Лавринович К.К. Альбертина: Очерки истории Кёнигсбергского университета. К 450-летию со времени основания / Калинингр. гос. ун‑т. — Калининград: Кн. изд-во, 1995.
3. Königsberger L. Carl Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages. - Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1904.
4. Königsberger L. Carl Gustav Jacob Jacobi. Rede zu der von dem internationalen Mathematiker-Kongress in Heidelberg veranstalteten Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages gehalten am 9.August 1904. — Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner 1904.
5. Pieper H. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) // Die Albertus-Universität zu Königsberg und ihre Professoren: aus Anlaß der Gründung der Albertus-Universität vor 450 Jahren / hrsg. von Dietrich Rauschning; Donata v. Nerée. - Berlin: Duncker & Humblot, 1995.