У Александра Иншакова много друзей. Он любит встречать дома гостей. Увлекается дайвингом, горными лыжами. Любит отечественное кино: "Цирк", "Волга-Волга", "Джентльмены удачи", "Белое солнце пустыни", "Человек с бульвара Капуцинов"; является поклонником творчества выдающихся русских актеров: Меркурьева, Грибова, Е. Леонова, Е. Евстигнеева. Из литературных произведений выделяет роман М. Булгакова "Мастер и Маргарита".
В доме у Иншакова всегда жили собаки. В основном это были доги (эта порода ему очень нравилась), были и дворняги, которых он подбирал на улице. Теперь у него три мастифа: Арнольд, Изольда и Ричард и кот по имени Базилевич (он же Василий). В соавторстве с Е. Цигельницким Александр Иванович написал книгу "Доги и бульдоги", в которой содержится подробное описание 68 пород. Подобного в России еще не издавалось. Он является председателем Российской кинологической федерации.