Надёжность технических систем (стр. 3 из 7)
При большом числе элементов (изделий) N0 статистическая оценка
практически совпадает с вероятностью безотказной работы P(t), а 
- с 
.Вероятностное определение ВБР описывается формулой
(4)т.е. ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа T окажется больше некоторой заданной наработки t.
Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:
Q(t)= Вер{T<t}=P{T<t}. (5)
Графики ВБР и ВО приведены на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Графики вероятности безотказной работы и вероятности отказов
Плотность распределения отказов (ПРО)
Статистическое определение ПРО:
[ед. наработки-1], (6)т.е. ПРО есть отношение числа объектов, отказавших в интервале наработки [t, t+Dt] к произведению общего числа объектов n на длительность интервала наработки Dt.
| Наработка – продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.). |
Поскольку Dn(t, t+Dt)= n(t+Dt)-n(t), где n(t+Dt) - число объектов, отказавших к моменту наработки t+ Dt, то ПРО можно представить:
(7)где
-оценка ВО в интервале наработки, т.е. приращения ВО за Dt.ПРО по смыслу представляет частоту отказов, т.е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.
Вероятностное определение ПРО следует из (7) при стремлении интервала наработки Dt® 0 и N ® ¥
(8)ПРО по существу является плотностью распределения случайной величины T наработки до отказа объекта. Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 3.
Интенсивность отказов (ИО)
Статистическое определение ИО описывается формулой
[ ед.наработки -1 ] (9)т.е. ИО есть отношение числа объектов Dn [t, t+Dt], отказавших в интервале наработки [t, t+Dt] к произведению числа исправных объектов на момент t на длительность интервала наработки Dt.
Сравнивая (6) и (9) можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т.к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t.
Вероятностное определение ИО получим, умножив и поделив правую часть выражения (9) на N
С учетом (7),
, 
можно представить 
,откуда при стремлении Dt® 0 (интервала наработки) и N ® ¥ получаем:
(10)Возможные виды графиков
приведены на рис. 2.4. 
Рис. 2.4.
Средняя наработка до отказа
Рассмотренные выше показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и
полностью описывают случайную величину наработки до отказа T={t}. В тоже время для решения ряда практических задач бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа.Статистическое определение средней наработки до отказа
, (11)где ti - наработка до отказа i-го объекта.
При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины Т, и поэтому, как всякое МО, определяется:
. (12)Очевидно, что с увеличением выборки испытаний (N ® ¥) средняя арифметическая наработка (оценка)
сходится по вероятности с МО наработки до отказа.В то же время средняя наработка не может полностью характеризовать безотказность объекта. Так при равных средних наработках до отказа
надежность объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться (рис. 2.5). 
f(t) – плотность распределения отказов ПРО
Рис. 2.5. Различие кривых ПРО при одинаковой средней наработке до отказа
2.2.2 Математические модели надёжности
Для решения задач по оценке надежности и прогнозированию работоспособности объекта необходимо иметь математическую модель, которая представлена аналитическими выражениями одного из показателей: P(t) или f(t) или
. Основной путь для получения модели состоит в проведении испытаний, вычислении статистических оценок и их аппроксимации аналитическими функциями.Опыт эксплуатации показывает, что изменение ИО
подавляющего большинства объектов описывается U -образной кривой (рис. 2.6). 
Рис. 2.6 – Кривая изменения интенсивности отказа объекта
Эту кривую можно условно разделить на три характерных участка: первый - период приработки объекта, второй – нормальная эксплуатация, третий - старение.
Период приработки объекта имеет повышенную ИО, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа, наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гарантийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изготовителем.
В период нормальной эксплуатации ИО уменьшается и практически остается постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего из-за несоблюдения условий эксплуатации, случайных изменений нагрузки, неблагоприятных внешних факторов и т. п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта.
Возрастание ИО относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов от износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией.
Вид аналитической функции, описывающей изменение показателей надежности P(t), f(t) или
(t), определяет закон распределения случайной величины, который выбирается в зависимости от свойств объекта, его условий работы и характера отказов.Экспоненциальное распределение
Экспоненциальный (показательный) закон распределения называемый также основным законом надёжности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти объекты можно отнести к «не стареющим», поскольку они работают только на участке с
=l =const (рис.2.6). Отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение описывает наработку на отказ тех объектов, у которых в результате сдаточных испытаний (выходного контроля) отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации. Плотность распределения экспоненциального закона описывается соотношением
,функция распределения этого закона — соотношением
,