Безкінченно малі функції
Визначення 1. Функція f(x)називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0(або при х-х0), якщо f(x)=0.Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при
Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю , то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f(x) називається нескінченно малою в точці х=х0, якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовільняющих нерівності , виконується нерівність і на язику послідовності: функція називається безкінечно малою в точці х=х0, якщо для любої зводящоїсі до х0 послідовність являється нескінченно малою.
Теорема. Для виконання рівняння f(x)=Aнеобхідно і достатньо, щоб функція була х-х0нескінченно малою при х-х0
Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.
Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х-х0 , а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х-х0 .
Нескінченно великі функції
Визначення. Функція f(x)називається безкінченно великою функцією в точці х=х0 (або при х-х0), якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність .
В цьому випадку пишуть f(x)=і говорять, що функція стремиться до нескінченності при х-х0 або, що вона має нескінченну межу в точці х=х0.
Якщо виконується нерівність , то пишуть f(x)= і говорять, що функція має в точці х0 нескінченну межу, рівну .
Так наприклад, пишуть f(x)=, якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовольняючих нерівностями , виконується нерівність .
“На язику послідовності” це визначення записується так: , якщо для любої зводящої ??? до х0 послідовності значення аргументу х, елементи хn який більше x0, відповідають послідовності значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.
Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при . Так, наприклад: функція f(x)називається нескінченно великою при , якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність . При цьому пишуть f(x)=. Якщо виконується нерівність , то пишуть f(x)=().
На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв'язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.
Насправді, нехай f(x)=0 і f(x)0 при .
Докажем, що .
Задамо довільне . Так як f(х) – нескінченно мала функція в точці х0, то для числа 1/існує таке, що для всіх , задовільняющих нерівностям , виконується нерівність . Но тоді для тих же х виконується нерівність , т.с. - нескінченно велика функція в точці х=х0, що і потрібно було доказати.