Реферат на тему:
1.Рівняння в повних диференціалах
Якщо ліва частина диференціального рівняння
є повним диференціалом деякої функції , тобто
,
і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням вповних диференціалах. Звідси вираз
є загальним інтегралом диференціального рівняння.
Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності
Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді
Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо
Звідси
.
Остаточно, загальний інтеграл має вигляд
Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал
,
то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла
В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.
.
В деяких випадках рівняння
не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння
вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність
,
або
.
Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції. Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо
Після підстановки в рівняння маємо
,
або
.
Розділимо змінні
Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:
.
Розглянемо частинні випадки.
1) Нехай . Тоді
І формула має вигляд
.
2) Нехай . Тоді
І формула має вигляд
3) Нехай .Тоді
І формула має вигляд
.
4) Нехай. Тоді
І формула має вигляд
.
Використана література:
1. Геращенко. Диференційні рівняння.
2. Хусаінов. Диференційні рівняння.