Назвемо точку граничною для області якщо в будь-якому околі цієї точки містяться точки, які належать і не належать
Сукупність всіх граничних точок називається границею області Якщо додати до області її границю, одержимо замкнену область
Назвемо діаметром область /відкритої чи замкненої/ точно верхню границю взаємних віддалей будь-яких пар точок, що належать області.
Приклади .
1. Множина точок координати яких незалежно одна від другої задовольняють нерівності
називається (- мірним) „прямокутним паралелепіпедом”.
Зокрема,
1) при така множина точок є відрізок ;
2) при така множина точок
є прямокутник ;
3) при така множина точок
є паралелепіпед;
Якщо у наведених співвідношеннях виключити рівність
то цим означається відкритий „прямокутний паралелепіпед”
Околом точки називається будь-який відкритий „паралелепіпед”
з центром у точці .
2. Розглянемо множину точок , означену нерівністю
(або ),
якщо є стала „точка”, а - стале додатне число. Така множина утворює замкнену (або відкриту) - вимірну сферу радіуса із центром у точці . Зокрема,
1) при множина точок є відрізок;
2) при множина точок є круг;
3) при множина точок є сфера.
Відкриту сферу будь-якого радіуса , із центром у точці також розглядаємо як окіл цієї точки.
Геометричне тлумачення функції.
1. Графік функції . Нехай в деякому проміжку задана функція . Розглянемо пару відповідних значень і , де , а ; образом цієї пари на площині є точка . Коли змінюється, точка описує деяку криву, яка є геометричним образом функції. За цих умов рівняння називають рівнянням кривої.
Означення. Графіком функції називається множина точок координатної площини, абсцисами яких є допустимі значення аргументу, а ординатами – відповідні їм значення функції.
2. Геометричне зображення функції . Нехай дана функція, означена у деякій області площини (рис.5.1). Тоді кожній парі відповідає за формулою деяке значення . Інакше, кожній точці ставиться у відповідність точка , що є кінцем перпендикуляра до площини .
Якщо точка займе всі можливі положення в області , то пов’язана з нею точка у загальному випадку опише в просторі деяку поверхню . Отже, геометричним зображенням (графіком) функції двох змінних є, в загальному випадку, поверхня в просторі
Геометричне зображення функції трьох і більшого числа змінних не має простого геометричного змісту. В окремих випадках можна отримати наочне геометричне представлення про характер зміни функції, розглядаючи її лінії рівня (або поверхні рівня), тобто лінії (або поверхні), де дана функція зберігає стале значення.
Означення. Лінією рівня функції
називається множина всіх точок площини , для яких дана функція має одне і те саме значення (і зокрема). Отже, рівняння лінії рівня є рівняння , де - довільна стала.
Рис.5.1 Рис.5.2
Приклад. На рис.5.2 зображені лінії рівня функції . Надаючи невід’ємні значення (не може бути від’ємним), одержимо відповідно лінії рівня функції: - точка - коло радіуса з центром
- коло радіуса з центром тощо.
Означення. Поверхнею рівня функції називається множина всіх точок простору для яких ця функція має одне і те саме значення (ізоповерхні).
Лінії і поверхні рівня постійно зустрічаються на практиці. Наприклад, з’єднавши на карті поверхні Землі точки з однаковою середньою температурою або з однаковим середньодобовим тиском, матимемо відповідно ізотерми та ізобари.
5.2.2. Елементарні функції та їх класифікація
Показникова функція(рис.5.3).
Функція означена в інтервалі і неперервна в кожній точці цього інтервалу. При функція зростає; при - спадає. Областю зміни показникової функції є інтервал .
Логарифмічна функція (рис.5.4).
Функція означена в інтервалі і неперервна в кожній точці цього інтервалу. При функція зростає; при - спадає.
Область зміни логарифмічної функції складає множина всіх дійсних чисел.
Степенева функція (рис.5.5, 5.6).
Якщо відносно відомо лише, що це деяке дійсне число, то можна говорити про значення тільки для . Тому в загальному випадку областю означення степеневої функції вважають інтервал . Якщото означена і в точці , де приймає значення . При зростанні степенева функція зростає, якщо і спадає, якщо . Значення у степеневої функції заповнюють інтервал . Якщо число - ціле або дробове з непарним знаменником, то степенева функція при означена для всіх , а при - для всіх , крім .
Тригонометричні функції (рис.5.7, 5.8, 5.9, 5.10).
Функції і мають областю визначення всі
значення змінної . Множиною значень кожної з цих функцій є
відрізок .
Функція означена для всіх значень , крім . Множина значень: .
Функція означена для всіх значень , крім . Множина значень: .
Обернені тригонометричні функції (рис.5.11, 5.12, 5.13, 5.14).
- нескінченнозначна функція, обернена для функції . Область означення: ; область зміни . Якщо кожному значенню покласти у відповідність значення нескінченнозначної функції , що задовольняє умовам , одержимо однозначну функцію, яку будемо позначати і називати головним значенням функції .
Функція - нескінченнозначна, обернена для функції . Область означення: ; область зміни: . Якщо кожному значенню , покласти у відповідність значення нескінченнозначної функції , що задовольняє умовам , одержимо однозначно функцію, яку будемо позначати і називати головним значенням функції .
Функції і - нескінченнозначні, обернені відповідно для функцій і . Області означення: ; області зміни: , крім відповідно
і .
Рис.5.3 Рис.5.4
Рис.5.5 Рис.5.6
Рис.5.7 Рис.5.8
Рис.5.9 Рис.5.10
Рис.5.11 Рис.5.12
Рис.5.13 Рис.5.14
Якщо кожному значенню , , поставити у відповідність значення функції , що задовольняють нерівностям , то одержимо функцію, яку назвемо головним значенням багатозначної функції і будемо позначати .
Окремі класи функцій.
Нехай функцію задано на деякому проміжку
Монотонні функції. Якщо для кожної пари точок при виконується нерівності:
1) то функція називається зростаючою на проміжку
2) то функція називається неспадною на проміжку
3) то функція називається спадною на проміжку
4) то функція називається не зростаючою на проміжку
Зростаючі, неспадні, спадні та незростаючі функції називаються монотонними.
Приклад.
1.
Якщо то тому функція є зростаючою в інтервалі
2. . Якщо то Тому функція є спадна в інтервалі .
Парні та непарні функції. Нехай функція задана на проміжку , який є симетричним відносно початку координат. Це може бути:
Функція на проміжку називається:
1) парною, якщо справджується рівність
2) непарною, якщо справджується рівність
Зауваження. Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Періодичні функції. Функція ,
називається періодичною, якщо існує число , таке, що справджується рівність
.
Число при цьому називається періодом функції .
5.3. Поняття неявної, складної та оберненої функції
5.3.1. Неявна функція
Функція від аргументу називається неявною, якщо вона задана рівнянням
(5.1)
Можливі випадки:
1) рівняння (5.1) не задовольняється жодною парою чисел
, тому вона не задає ніякої функції;
2) рівняння (5.1) задовольняється лише однією парою чисел
(), тому воно не задає ніякої залежності;
3) рівняння (5.1) задовольняється різними парами чисел
, тому воно задає змінну як функцію від : .
Множина значень , для кожного з яких , є областю визначення неявної функції . Наприклад, рівняння задає двозначну функцію :
; .
Нехай тепер маємо рівняння
, (5.2)
що зв’язує значення трьох змінних. Розглянемо множину тих пар чисел , для яких існує значення , що разом з і рівняння (5.2) перетворює на тотожність.
Якщо кожній парі чисел із вказаної множини поставити у відповідність значення , одержимо однозначну або багатозначну функцію двох змінних: , яку будемо називати неявно заданою рівнянням (5.2) або неявною функцією.
Розглянемо рівняння , яке зв’язує значення змінних, за аналогією із викладеним, можна ввести