1) Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням.
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Дослідження форми еліпсоїда проведемо методом паралельних перерізів. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оху. Кожна з таких площин визначається рівнянням z=g, де h – довільне дійсне число, а лінія, яка утвориться і перерізі, визначається рівняннями
+= 1 - ; z=h.
Дослідимо рівняння (2) при різних значення h.
1. Якщо >c, c>0, то + <0 і рівняння (2) ніякої лінії не визначають, тобто точок перетину площини z=h з еліпсоїдом не існує.
2. Якщо h=+ c, то += 0 і лінія (2) вироджується в точки (0; 0; с) і (0; 0; - с), тобто площини z=c і z=-c доторкаються до еліпсоїда.
3. Якщо >c, c>0, то += 1, де а1=а, b1=b, тобто площина z=h перетинає еліпсоїд по еліпсу з півосями а1 і b1. При зменшенні h значеннz а1 і b1 збільшуються і досягають своїх найбільших значень при h=0, тобто в перерізі еліпсоїда площиною Оху матимемо найбільший еліпс з півосями a1= а, b1 = b.
Аналогічні результати дістанемо, якщо розглядатимемо перерізи еліпсоїда площинами х=h і у=h.
Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню. Величина а, b, с називаються півосями еліпсоїда. Якщо будь-які дві півосі рівні між собою, то триосний еліпсоїд перетворюється в еліпсоїд обертання, а якщо всі три півосі рівні між собою, - у сферу.
Отже даний еліпсоїд має півосі: а= 2,b=3? c=; його центр знаходиться в точці 0(1; -2; 3).
2) Одно порожнинний гіперболоїд
Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= 1 - =1.
Рівняння (3) називається канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.
Досліджують рівняння (3), як і в попередньому пункті, методом паралельних перерізів. Перетинаючи одно порожнинний гіперболоїд площинами, паралельними площині Оху, дістанемо в перерізі еліпси. Якщо поверхню (3) перетинати площинами х=h або у=h, то в перерізі дістанемо гіперболи.
Детальний аналіз цих перерізів показує, що однопорожнинний гіперболоїд має форму нескінченної трубки, яка необмежено розширюється в обидва боки від найменшого еліпса, по якому однопроджнинний гіперболоїд перетинає площину Оху.
Двопорожнний гіперболоїд
Двопорожнинним гіперболоїдом називаються поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= 1 - ; = - 1.
Рівняння (4) називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїда.
Метод паралельних перерізів дає змогу зобразити двопорожнинний гіперболоїд як поверхню, що складається з двох окремих порожнин (звідси назва двопорожннний), кожна з яких перетинає вісь Оz і має форму опуклої нескінченної часі.
Еліптичний параболоїд
Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= z ,
що є канонічним рівнянням еліптичного параболоїда. Він має форму нескінченної опуклої чаші. Лініями паралельних перерізів еліптичного параболоїда є параболи або еліпси.
Гіперболічний параболоїд
Гіперболічний параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= z.
що є канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда. Ця поверхня має форму сідла.
Лініями паралельних перерізів гіперболічного параболоїда є гіперболи або параболи.