Міністерство освіти України

Львівський державний університет ім. І. Франка

Факультет прикладної математики

та інформатики

Кафедра теорії оптимальних

процесів.

Звіт

про виконання індивідуального завдання № 3

“Побудова кривих регресій методом парабол”

з курсу

"Теорія імовірностей та математична статистика"

Виконав: студенти групи ПМП-32

Ковальський Д., Шевчук А.

Керівник: Сеньо П.С.

Львів – 1998

Теоритичні відомості

Лінійна залежність є найпростішою і в більшості випадків є початковим, першим наближенням до істини. Часто потрібно встановити більш адекватну залежність між компонентами наприклад двомірного випадкового вектора, яка як правило не лінійна.

Так як у вибіркових данних присутні випадковості, то початковий вигляд нелінійної залежності можна приблизно уявити побудувавши на міліметровому папері сукупність точок

Ми будемо шукати залежність у вигляді y = a₀+ a₁x + … + a_kx^k, де а₀, …, а_k – початкові моменти.

Ця передумова обумовлюється теоремою Вейерштраса про наближення будь-якої функції многочленом відповідного степеня (многочленом Берштейна).

Складність полягає в тому, що як правило в статистиці многочлени степеня k > 4 не використовуються, а початкові моменти вище четвертого дають великі похибки, а експериментальних данних багато, отже не можна провести многочлен який би проходив через всі вибіркові точки. Тому параболу будемо будувати таку, щоб сума квадратів відхилень вибіркових значень була найменшою.

Розглянувши пари (x_i,y_i) скористаємося формулами:

Розв'язавши дану систему, отримаємо рівняння шуканої параболи.

Найбільшу величину похибки при апроксимації початкових данних шукатимемо за наступною формулою:

Приклад дії програми

Початкові данні:

x	o	1	2	3	4
y	1	1.5	1.7	2.1	5.9

При виборі степеня k=1 результат отримано наступний:

а₀= 0.36

а₁ = 1.04

d = 4.776

Графік:

При k=2:

a₀ = 1.3314; a₁= -0.9029; a₂ = 0.4857; d= 1.4731

При k=3:

a₀ = 0.9614; a₁= 1.7488; a₂ =-1.3643; a₃ =-0.3083; d= 0.1041

При k=4:

a₀ = 1.2250; a₁= -0.1381; a₂ =-0.0495; a₃ =0.090; a₄ =-0.0002; d= 0.7906

Текст програми (Borland Pascal 7.0):

uses crt, graph;

var xn,yn:array[1..30] of real; n:integer; chr:char; a: array [1..5] of real;

function stepin (x:real; i:integer):real;

var j:integer; temp:real;

begin

temp:=1;

for j:=1 to i do

begin

temp:=temp*x;

inc (i);

end;

stepin:=temp;

end;

procedure xyread;

var fl:text; i:integer;

begin

TextBackground(3);

TextColor(0);

clrscr;

assign (fl,'3.txt');

reset (fl);

writeln ('Програма знаходження кривих регресiй методом парабол');

writeln ('Шевчук А., Ковальський Д. ПМП-32, 1998');

{ writeln ('Esc for Exit');}

writeln;

writeln (' x', ' y');

writeln ;

i:=1;

while not EOF (fl) do

begin

read (fl,xn[i]);

read (fl,yn[i]);

writeln ('x[',i,']=',xn[i]:0:2,' ',' y','[',i,']=',yn[i]:0:2);

inc (i); n:=i-1;

end;

writeln;

writeln ('Тиснiть ENTER для продовження');

close (fl);

repeat

chr:=readkey;

if ord(chr)=13 then break;

until false;

end;

procedure obchysl;

var k :integer; i,j,h:integer;

sx: array [1..6] of real;

sy: array [1..2] of real;

sxy: array [1..3] of real;

matr: array [1..5, 1..5] of real;

b: array [1..5] of real;

s: real;

d:real;

m,v:word;

gd,gm,ch,cv:integer;

x,y:real;

chr:char;

ex:boolean;

{процедура ўнўцўалўзацў• системи кординат}

procedure initgrah(m:word);

var i:integer;

begin

setbkcolor(white);

setcolor(magenta);

ch:=getmaxx div 2 ;

cv:=getmaxy div 2 ;

line(1,cv,getmaxx,cv);

line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv-3);

line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv+3);

line(ch,1,ch,getmaxy);

line(ch,1,ch-3,6);

line(ch,1,ch+3,6);

i:=0;

while ch+i*m<=getmaxx-6 do

begin

line(ch+i*m,cv+2,ch+i*m,cv-2);

line(ch-2,cv+i*m,ch+2,cv+i*m);

line(ch-i*m,cv+2,ch-i*m,cv-2);

line(ch-2,cv-i*m,ch+2,cv-i*m);

i:=i+1;

end;

begin

writeln;

writeln ('Крива регресii описуэться рiвнянням y=g(x), де');

writeln ('g(x)=a[0] + a[1]*x + ... + a[k]*x^k');

writeln ('Введiть cтепiнь k (k < = 4):');

readln (k);

for i:=k+1 to 5 do

a[i]:=0;

for i:=1 to 6 do

begin

sx[i]:=0;

for j:=1 to n do

sx[i]:=sx[i] + stepin (xn[j], i);

end;

for i:=1 to 2 do

begin

sy[i]:=0;

for j:=1 to n do

sy[i]:=sy[i] + stepin (yn[j], i);

end;

for i:=1 to 3 do

begin

sxy[i]:=0;

for j:=1 to n do

sxy[i]:=sxy[i] + yn[j] * stepin (xn[j], i);

end;

b[1]:=sy[1];

for j:=2 to k+1 do

matr[1,j]:=sx[j-1];

for i:=2 to k+1 do

b[i]:=sxy[i-1];

for i:=2 to k+1 do

for j:=1 to k+1 do

matr[i,j]:=sx[j+i-2];

matr[1,1]:=n;

{ МЕТОД ГАУСА РОЗВ'ЯЗАННЯ С.Л.А.Р. }

{ прямий хiд методу гауса }

for i:=1 to k do

for j:=i+1 to k+1 do

begin

matr[j,i]:= -matr[j,i]/matr[i,i];

for h:=i+1 to k+1 do

matr[j,h]:=matr[j,h]+matr[j,i]*matr[i,h];

b[j]:=b[j]+matr[j,i]*b[i];

end;

{ обернений хiд методу гауса }

for i:=k+1 downto 1 do

begin

s:=b[i];

for j:=i+1 to k+1 do s:=s-a[j]*matr[i,j];

a[i]:=s/matr[i,i];

end;

writeln ('Моменти:');

for i:=1 to k+1 do

writeln ('a[',i-1,']=',a[i]:0:4);

d:=sy[2]-a[1]*sy[1]-a[2]*sxy[1]-a[3]*sxy[2]-a[4]*sxy[3];

writeln ('Похибка:');

writeln ('d = ',d:0:4);

writeln ('Enter для перегляду графiка');

repeat

chr:=readkey;

if ord(chr)=13 then break;

until false;

m:=50;v:=160;ex:=false;

repeat

gd:=detect;

initgraph(gd,gm,'');

initgrah(m);

highvideo;

setcolor(green);

for i:=1 to n do

begin

line (round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)-3);

line (round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)-3);

end;

setcolor(magenta);

{лўва частина графўка}

for i:=(-v) to 0 do

begin

x:=i/20;

y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x;

if abs(ch-abs(x)*m) <32500 then

if abs(cv-y*m)<32500 then

lineto(round(ch-abs(x)*m),round(cv-y*m));

end;

{права частина графўка}

for i:=0 to v do

begin

x:=i/20;

y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x;

if abs(ch+abs(x)*m) <32500then

if abs(cv-y*m)<32500 then

lineto(round(ch+abs(x)*m),round(cv-y*m));

end;

outtextxy(30,30,'graphic');

{маштабування графўка}

repeat

chr:=readkey;

case ord(chr) of

{збўльшення графўка}

43:begin

case m of

400:outtextxy(40,40,'no more big');

10..390:begin

m:=m+10;

v:=20*trunc(400/m);

break;

end;

{зменшення графўка}

45:begin

case m of

10:outtextxy(40,40,'no more small');

10..1000:begin

m:=m-10;

v:=20*trunc(400/m);

break;

end;

{повернення в меню}

27:begin

ex:=true;

break;

end;

until false;

closegraph;

if ex=true then break;

until false;

closegraph;

end;

BEGIN

xyread;

obchysl;

END.

Список літератури

1. Крамер Гарольд. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.

2. Бух Арлей. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. М., 1951.