Збудження об’ємних резонаторів

Лекція 18

Збудження об’ємних резонаторів.

1. Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора.

, , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: .

,

.

Проінтегрувавши обидві рівності по всьому об’єму та врахувавши властивості

векторного добутку, отримаємо:

,

.

Враховуючи, що

та позначивши маємо лінійну однорідну систему відносно з коефіцієнтами та :

. Система має нетрівіальні розв’язки якщо ; . Тоді , тобто . Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою , яку легко знайти.

2. Знайдемо поля

та

всередині резонатора при наявності струмів.

- рівняння Максвела.

Псевдовектор в математиці – вектор, що змінює свій напрямок при інверсії системи координат (напрямок, векторний добуток). У фізиці псевдовектор змінює напрямок при інверсії часу

. Наприклад, при інверсії часу електрон починає обертатися в протилежному напрямку, а відповідно змінює і напрямок МП.

Таким чином, МП – псевдовектор, ЕП – вектор. Звідси можна зробити висновок, що гамільтоніан не може містити

(щоб він був інваріантний до інверсії часу). Ще один висновок – що немає магнітного п’єзоефекту.

Існує іще одна класифікація:

соленоїдальні та потенціальні.

Потенціальний (поздовжній):

- немає вихорів.

Соленоїдальний (поперечний):

- немає вузлів.

Записавши

ми зробили помилку, бо не врахували потенційні поля, пов’язані з електростатичними полями зарядів, що збуджують струми.

Отже,

, , де , . Взагалі то, , бо магнітних зарядів не існує. Проте, є припущення про існування магнітних зарядів – монополь Дірака; тоді .

,

.

Підставимо в рівняння Максвела:

. Прирівнявши відповідні коефіцієнти при базисних функціях та , одержимо - з рівняння а). Оскільки , то .

. ; .

Таким чином, для гармонічних полів:

. Тоді . Використаємо , . , бо . Таким чином, довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів.

Проінтегруємо

по , попередньо помноживши на :

.

В результаті отримаємо:

, маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Амплітуда .

Ми отримали формулу для резонансного збудження. Тут не враховано дисипацію, тому можливо

. Якщо дисипацію врахувати наступним чином: , то отримаємо Лоренцівську резонансну криву: .