=(VC+FC)(1+[VC*av* r v+ FC*r f*af]/[VC*av + FC*af]*[ VC*av + FC*af ]/[ VC+FC ])
(VC+FC)(1+[VC*av* r v+ FC*r f*af]/[VC*av + FC*af]*[ VC*av + FC*af ]/[ VC+FC ])= (FC+VC)*(1+ a’ * r’)
FC*(1-af) + Rc*(1- av) = (VC+FC)(1-[VC*av+ FC*af]/[VC + FC]) ,
(VC+FC)(1-[VC*av+ FC*af]/[VC + FC]) = (VC+FC)(1- a’)
Теорема 1.1. доведена.
Смисл формули (2.8) досить наглядний: прибуток рівний виручці за виключенням фіксованих та змінних витрат, а також відсотків по кредитам. Формула (2.9) також стала наглядною: норма прибутку рівна прибутку, поділеному на власний капітал.
Ви бачите, що Ви можете обійтись без понятть середньої частки запозиченого капіталу, та середнього по запозиченому капіталу. Але використання цих понятть робить міркування більш ясними та чіткими, дозволяючи зосередитися на головному і не губитися в деталях.
Таким чином формула (2.7) звелась до:
Норма прибутку = Прибуток до сплати подутків/Власний капітал
Визначення5: Прибуток до сплати подутків.
Прибуток до сплати подутків це частина виручки, що залишилась в Вашому розпорядженні.
В даному випадку чиста виручка є виручка за виключенням постійних та змінних витрат, а також відсотків, що виплачуються по боргу та самого боргу.
Визначення6: Банкрутство.
Банкрутство є ліквідація фірми у всановленому законом порядку в наслідок її нездатності платити по своїм рахункам.
Страхування проти банкрутства може бути виражено і неявно у вигляді підвищення відсотків по кредиту при збільшенні частки запозиченого капіталу. В цьому випадку r f= r f(af,av).
Страхування проти банкрутства заставляє переписати формулу (2.7):
rp=[R(1-c*(1+ av* r v))-FC*(1+r f*af)-S(FC,af,VC,av)]/[FC*(1-af)-Rc*(1- av)] (2.10)
або
rp= [R(1-c*(1+ av* r v))-FC*(1+ r f(af,av))]/ [FC*(1-af)- Rc*(1- av)] (2.11)
в залежності від явного чи неявного виду страхування проти банкрутства. Додатковий член в чисельнику, монотонно спадаючої по af чи av приводить до того, що максимум норми прибутку на власний капітал досягається при певній структурі капіталу: стільки-то власного, стільки-то запозиченого. Це співвідношення між оптимальними долями власного та запозиченого капіталу називається оптимальною структурою капіталу.
Використовуючи поняття середньої частки запозиченого капіталу a’ та середнього відсотка по запозиченому капіталу, Ви легко переписуєте формулу (2.11):
rp= [R*(VC+FC)*(1+ a’* r’)]/ [(VC+FC)*(1-a’)] (2.12) Перехід від формули (2.11) до формули (2.12) здійснюється аналогічно переходу від формул (2.5)-(2.7) до (2.8)-(2.9).
Структура капіталу
Визначення7: Структура капіталу.
Структура капіталу є співвідношення між частками власного та запозиченого капіталу.
Визначення8: Оптимальна структура капіталу.
Структура капіталу, що оптимізує необхідний Вам критерій , наприклад, норму прибутку на власний капітал чи абсолютний прибуток називається оптимальною структурою капіталу.
Подивимося як поводять себе прибуток p та норма прибутку rp при різних значеннях R та af.
Приклад2:Залежність прибутку та норми прибутку від об’єму виручки при різній структурі капіталу.
Нехай у Вас маржинальні витрати рівні 70%, відсоткова ставка r рівна 10%, фіксовані витрати $1000, об’єм виручки може змінюватися від $3000 до $5400, частка запозиченого капіталу - від 0% до 80%. Вас цікавлять значення прибутку та норми прибутку при різних об’ємах виручки та частках запозиченого капіталу.
Таблиця2: Залежність прибутку від об’єму виручки при різній структурі капіталу.
| a/ R | $3000 | $3333 | $3600 | $3900 | $4200 | $4500 | $4800 | $5100 | $5400 |
| 0.00% | -100 | -10 | 80 | 170 | 260 | 350 | 440 | 530 | 520 |
| 20.00% | -162 | -76,2 | 9,6 | 95,4 | 181,2 | 267 | 352,8 | 438,6 | 524,4 |
| 40.00% | -224 | -142,4 | -60,8 | 20,8 | 102,4 | 184 | 265,6 | 347,2 | 428,8 |
| 60.00% | -286 | -208,6 | -131,2 | -53,8 | 23,6 | 101 | 178,4 | 255,8 | 333,2 |
| 80.00% | -348 | -274,8 | -201,6 | -128,4 | -55,2 | 18 | 91,2 | 164,4 | 237,8 |
В першому рядку значення різних об’ємів виручки, в першому стовбчику - часток капіталу, в таблиці - значення прибутку, які рахуються по формулі (2.8).
Таблиця3: Залежність норми прибутку на власний капітал від об’єму виручки при різній структурі капіталу.
| a/ R | $3000 | $3333 | $3600 | $3900 | $4200 | $4500 | $4800 | $5100 |
| 0.00% | -3,23% | -0,30% | 2,27% | 4,56% | 6,60% | 8,43% | 10,09% | 11,60% |
| 20.00% | -6,53 | -2,88% | 0,34 | 3,20% | 5,75% | 8.04% | 10.11% | 12.00% |
| 40.00% | -12,04% | -7,17% | -2,88% | 0,93% | 4,33% | 7.39% | 10.15% | 12.66% |
| 60.00% | -23,06% | -15,76% | -9,32% | -3,61% | 1,50% | 5.08% | 10.23% | 13.99% |
| 80.00% | -56,13% | -41,51% | -28,64% | -17,21% | -7,01% | 2.17% | 10.46% | 17.99% |
Досиить чітко проглядається наявність граничного (break-even) об‘єму продаж Rb в розмірі $4800, після перевищення якого вигідно використовувати запозичений капітал. Цей граничний об‘єм продаж визначається наступним чином:
r p(af,av,r f,r v)³ rp(0,0,0,0), (2.13)
де
r f(af,av,r f,r v)=[R(1-c*(1+ av* r v))-FC*(1+ r f(af,av))]/[FC*(1-af)-Rc*(1- av)] (2.14)
Іншими словами норма прибутку - відношення чистої виручки до власного капіталу повинно вирости при використанні запозиченого капіталу, що і записано в (2.13). Смисл (2.14) в тому, що норма прибутку rp є виручка R за виключенням витрат (FC+Rc) та виплачуваних відсотків Rcavr v +FC af r f, поділена на власний капітал FC*(1-af)- Rc*(1- av). Припускається, що частка власного капіталу в повному капіталі фірми дорівнює частці власних витрат в витратах фірми.
Теорема 1.2. Умова вигодності використання запозиченого капіталу.
Запозичений капітал вигідно використовувати при r’<re, (2.15)
де re=[R(1-c)-FC]/[FC+Rc] (2.16)
re - повернення на чисто власний капітал, R - виручка, FC - фіксовані витрати, r’ - середній відсоток по запозиченому капіталу, с - питомі змінні витрати.
Мінімальний об‘єм продаж Rb, при якому вигідно використовувати запозичений капітал рахується по формулі:
Rb=[FC*(1+ r’)]/[1-c*(1+r’)] (2.17)
Визначення9: Чисто власний капітал.
Капітал, що складається на 100% з власного капіталу називається чисто власним капіталом.
Визначення10: Норма прибутку на чисто власний капітал.
Норма прибутку на чисто власний капітал re є норма прибутку чисто власного капіталу і розраховується по формулі (2.16).
Необхідно розрізняти поняття власного капітала - частки власності в повному капіталі - та чисто власного капіталу - капіталу, що складається на 100% з власного капіталу
Доведення теореми 1.2.
Запишемо норму прибутку чисто власного капіталу rp(0,0,0,0)(формула (2.14) при нульових af,av,r f,r v):
rp(0,0,0,0) = [R(1-c)-FC]/[FC+Rc] (2.18) та підставимо її в (2.13) разом з підстановкою правої частини (2.14) замість норми прибутку. Отримаєте
[R(1-c*(1+av*rv))-FC*(1+rf(af,av))] / [FC*(1-af) - Rc*(1-av)] ³
³ [R(1-c)- FC]/[FC+Rc]
Позбавляючись від знаменника:
[R(1-c*(1+ av* r v))-FC*(1+ r f(af,av))]* [FC+Rc] ³
³ [R(1-c)-FC]* [FC*(1-af)- Rc*(1- av)]
Позбавляємося від спільного члена [FC+Rc]*[R(1-c)-FC]:
-[FC+Rc]*[Rcav r v+FCr faf] ³ -[R(1-c)-FC]* [FCaf+ Rcav]
Ìіняємо частини місцями та ділимо на [FCaf+ Rcav]*[FC+Rc]:
[Rcav r v+FCr faf]/ [FCaf+ Rcav] £[R(1-c)-FC]* [FC+Rc] (2.19)
Розглянемо більш детально умову (2.19). Права частина (2.19) є норма прибутку на чисто власний капітал re:
re=[R(1-c)-FC]/[FC+Rc] (2.16)
Ліва частина (2.19) є r’, де r’ є середній відсоток по запозиченому капіталу. Таким чином умова (2.19) вигодності використання запозиченого капіталу набуває зрозумілий вигляд:
Іншими словами умова вигідності використання запозиченого капіталу заключається у перевищенні норми прибутку re виплачуваних по кредитах відсотків r’.
Підставляючи r’ в ліву частину формули (2.19), Ви отримуєте умову для мінімального об‘єму (break-even) продаж Rb, при перевищенні якого вигідно використовувати запозичений капітал.:
Rb=[FC*(1+ r’)]/[1-c*(1+r’)] (2.17)
Формули (7) та (9):
rp= [R-FC*(1+rf*af)-VC*(1+av*r v)]/[FC*(1-af)- Rc*(1- av)] (2.7)