площини перетинаються по спільній прямій (пучок трьох площин), або всі три площини співпадають. Другий випадок можливий лише тоді, коли всі три рівняння зводяться до одного (пропорційність всіх чотирьох коефіцієнтів).
3.4.2 . Кут між двома площинами
Умови паралельності і перпендикулярності двох площин
Розглянемо дві площини (рис.3.13). Очевидно, що величина двогранного кута між двома
площинами дорівнюватиме відповідному куту між їх нормальними
векторами і .
Тому кут . Кут між двома векторами і
визначається за формулою , тобто
(3.21)
Очевидно, що коли площини паралельні, то ||, а якщо перпендикулярні, то . Отже, умови паралельності двох площин визначаються так:
, (3.22)
а перпендикулярності -
(3.23)
Рис.3.13
3.4.3. Віддаль від точки до площини
Якщо радіус-вектор точки площини , радіус-вектор точки а її нормальний вектор. то рівняння (3.18) можна записати у векторній формі
Якщо і направляючі вектори площини (вектори, які паралельні площині або лежать в площині), то вектор а тому може бути прийнятий за нормальний вектор площини
Тоді рівняння площини можна записати у вигляді
(3.24)
Нехай задана точка радіус-вектор якої позначимо через Віддаль від точки до площини краще всього визначити як висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах , поділивши об’єм паралелепіпеда на площу основи (рис.3.14). Ми одержимо
Але для кожного нормального вектора площини можна вибрати направляючі вектори і такими, щоби Тому ми маємо
Рис.3.14 або в координатній формі
В силу того, що точка маємо
звідки Тоді одержимо формулу для обчислення віддалі від точки до площини заданої рівнянням
(3.25)
Приклад 1. Задані чотири точки і .
а) Перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;
Написати рівняння:
б) площини що проходить через три точки
в) площини , що проходить через точку і паралельна площині
г) площини , що проходить через точки і перпендикулярна
площині
д) площини що проходить через точки
Обчислити:
е) кут між площинами і
є) віддаль між площинами і
Р о з в ‘ я з о к.
а) Знайдемо вектори Точки лежатимуть в одній площині тоді, коли вектори компланарні (змішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю) :
Отже вектори некомпланарні, а значить, точки не лежать в одній площині.
б) Запишемо рівняння площини , що проходить через три заданих точки:
в) Рівняння площини , що проходить через точку
Оскільки і паралельні, то
г) Рівняння площини шукаємо у вигляді (рівняння площини, що проходить через точку ) . Коефіцієнти знаходимо із умов: тоді
і після ділення рівняння на
одержимо
д) Рівняння площини , що проходить через точки
е) Кут між площинами і визначається як кут між їх нормальними векторами і
або
є) Віддаль між двома паралельними площинами і знаходимо як віддаль від довільної точки, що лежить в площині наприклад до площини
Приклад 2. Записати рівняння площини, що проходить через точку і вісь
Р о з в ‘ я з о к. Рівняння площини шукаємо у вигляді Оскільки площина проходить через вісь то точки , лежать в даній площині; значить, і рівняння шуканої площини має такий вигляд (після ділення на )
3.5. Пряма в просторі
3.5.1. Рівняння прямої в просторі
Пряма в просторі задана, якщо відома деяка точка що лежить на цій прямій, і вектор , який паралельний цій прямій. Такий вектор називається направляючим вектором прямої. Тоді довільна точка буде лежати на цій прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і будуть колінеарні, тобто Оскільки координати цих векторів то останню рівність в координатній формі можна записати так:
(3.26)
Рівняння (3.26) називаються параметричними рівняннями прямої в просторі (параметр).
Виключаючи із рівнянь (3.27) параметр одержимо канонічне рівняння прямої в просторі
(3.27)
Нехай дві точки і лежать на прямій . Тоді за направляючий вектор можна взяти вектор Підставляючи в рівняння (3.27)
замість і відповідні координати вектора , одержимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
(3.28)
Пряма в просторі може задаватися як лінія перетину двох площин
і .
Оскільки довільна точка що лежить на прямій, буде лежати і в цих площинах, то її координати будуть задовольняти обидва рівняння цих площин, тобто систему рівнянь. Отже рівняння такої прямої можна записати у вигляді системи рівнянь
(3.29)
Рівняння (3.29) називається загальним рівнянням прямої в просторі. Очевидно, що рівняння (3.29) задають рівняння прямої, коли площини і непаралельні. Координати нормальних векторів площин і такі: Тоді , оскільки , то пряма буде перпендикулярна обом нормальним векторам і Тоді в якості направляючого вектора можна взяти вектор
3.5.2. Кут між двома прямими в просторі.
Умови паралельності та перпендикулярності
Кут між двома прямими і , заданих рівняннями
,
визначається як кут між їх направляючими векторами та Тому
(3.30)
Якщо прямі і паралельні, то їх направляючі вектори і будуть колінеарні. Тоді одержимо умову паралельності двох прямих
(3.31)
Якщо прямі і перпендикулярні, то , і ми маємо умову перпендикулярності двох прямих
(3.32)
3.5.3. Кут між прямою і площиною.
Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини
Кут між прямою та площиною визначається кутом між цією прямою та її
проекцією на площину (рис.3.15). Нехай пряма задана канонічним рівнянням
а площина - загальним рівнянням
.
Направляючий вектор прямої має координати , а нормальний вектор площини Очевидно, що кут між прямою і площиною дорівнює де це кут між
Рис. 3.15 векторами і Тоді і
Отже, кут між прямою і площиною визначається за формулою
(3.33)
Пряма паралельна площині якщо вектори і перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої і площини має вигляд
(3.34)
Пряма перпендикулярна площині якщо вектори і колінеарні, і умова перпендикулярності прямої і площини запишеться так
(3.35)
Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими
і .
Р о з в ‘ я з о к. Візьмемо на прямій точку і знайдемо основу перпендикуляра , опущеного із точки на пряму Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну прямій Рівняння площини має вигляд Точка - це точка перетину даної площини з прямою Знайдемо координати точки , розв’язавши систему рівнянь
Дану систему рівнянь найкраще розв’язувати, записавши рівняння прямої в параметричній формі
Тому Отже, Віддаль між двома прямими і дорівнює довжині відрізка , тобто
Приклад 2. Знайти проекцію точки на площину
Р о з в ‘ я з о к. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до заданої площини , і знайдемо точку їх перетину Запишемо рівняння прямої в параметричній формі і розв’яжемо систему рівнянь
Отже, проекція точки на задану площину має координати