Збіжність функціональних послідовних рядів .
Нехай у деякій довільній множині Х задана послідовність функцій , які приймають числові значення . Елементи множини Х називають точками . Ця послідовність функцій називається обмеженою на множині Х , якщо | fn(x) | <=c , і називається збіжною в протилежному випадку .
Рівномірне сходження функціональних послідовностей і рядів.
Функціональна послідовність називається рівномірно збіжною до функції fна множині Х , якщо для будь – якого е>0 існує такий номер no , що для всіх номерів n>no виконується нерівність | fn (x) – f (x) | < e .
Очевидно , що якщо послідовність рівномірно сходиться на множині Х до функції f, то ця послідовність збігається до функції .
Спеціальні признаки рівномірної збіжності рядів .
Якщо послідовність функції an(x)належитьR , рівномірно наближається на множині Х до нуля і в кожній точці х належить Х монотонна , а послідовність функції bn(x) належить Х , так , що послідовність часткових сум ряду Sbn (x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , обмежена на Х , то ряд San(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , рівномірно сходиться на множині Х .
Якщо послідовність функції an(x)належитьR , обмежена на множині Х і монотонна в кожній точці х належить Х , а ряд рівіномірно сходиться на Х , то і ряд San(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , також рівномірно сходиться на множині Х .
Степеневі ряди.
Степеневим рядом називається ряд виду San(z-zo),де n-лежить в межах від 1 до безмежності,числа an-називаються коефіцієнтом ряду.Розглянемо тепер аналітичні функції, котрі розкладаються в степеневий ряд з дійсними коефіцієнтами в деякому радіусі точки дії осі R.Якщо така функція f аналітична в точці xo, яка належить R,то в деякому радіусі цієї точки на дійсній осі функція f представляється в вигляді суми степеневого ряду
f(x)=San(x-xo)
з дійсними коефіцієнтами.
Розглянемо деякі особливості подібних функцій.Перш за все помітимо,що для всякого степеневого ряду з дійсними коефіцієнтами існує радіус сходження R.В результаті цього одержуємо,що ряди одержані врезультаті диферіїнцювання і інтегрування мають такий же радіус сходження,що й степенево-показникові ряди.
Якщо в деякому радіусі заданої точки функція розкладається в степеневий ряд , то цей розклад буде єдиним .
Згідно теореми всяка аналітична , в деякій точці дійсної осі ,функція нескінченно диференційована в цій точці розкладається в цій точці в свій ряд Тейлора . Зворотнє також можливо , якщо дійсна функція розкладається в деякому радіусі будь-якої точки ,то може статися , що вона не рівна сумі свого ряду Тейлора .
Якщо функція в радіусі точки Xo має всі похідні , обмежені в сукупності у цьому радіусі , функція розкладається в степеневий у деякому радіусі точки Xo .
Формула Стірлінга .
Розклад функції ln(1+x) в степеневий ряд дає можливість легко одержати асимптичну формулу для факторіала n! При n , яке прямує до безмежності . Така формула називається формулою Стірлінга .
Аналіз ряду даного у курсовій роботі.
Даний ряд у курсовій роботі являється степенево—показниковим рядом .
Область значень для х є від –0.5 до 0.5 .
Ряд поданий у курсовій роботі є збіжним рядом .
Текст програми на Паскалі .
Висновок .
Порівнявши результати одержані двома різними компіляторами , такими як Турбо Паскалі та Турбо Сі очевидно , що одержані результати однакові .
Список літератури .
1. Кудрявцев Л.Д. ,“Краткий курс математического анализу ” , Москва , Наука , 1989
2. Фаранов В.В. , “Турбо Паскаль 7.0” , Москва , Но Лидж , 1996 .
3. Том Сван , “ Турбо С “ , Київ , Діалектика , 1996 .
4. Методичні вказівки .