тичної статистики теоретичного аналізу теорії імовірності системного аналізу економетрії (стр. 2 из 3)

F_p=d_x²/S²=5.445,

n

де d_x²= Σ(x ₁-x)²/(n-1).Оскільки F_розр>F_табл=1,95,то прийнята

i=1

модель адекватна експерементальним даним.

Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

Dx_1i=t_a,kS/n^1/2(1+(x_1i-x₁)²/d_x1²)^1/2

а потімвиконаємо зворотній перехід за формулами :

Y_i±DY_i=exp(Y_1i±DY_1i).

Складемо таблицю1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

n n

d= Σ(l_t-l_t-1)²/Σl_t²=2.425.

t=2 t=1

Визначимо границі d-статистики: d₁=1.16,d_n=1.39.Оскільки виконується нерівність d_n<d<4-d_n ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.

Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

DX_1p=t_a,kS/n^1/2(1+n+(X_1i-X₁)²/d_x1²)

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:

Y_p±DY_p=exp(Y_1p±DY_1p)

Складемо таблицю 2.

Таблиця 1.

t	x(t)	t1	x1 (t)	x1r	xr	Dx1	xmin	xvf[
1	9,51	0	2,2523	2,2002	9,0268	2,6461	0,6402	127,267
2	11,62	0,6931	2,4527	2,4137	11,1757	1,8811	1,7034	73,3196
3	11,22	1,0986	2,4177	2,5338	12,6626	1,4754	2,8958	55,371
4	15,22	1,3863	2,7226	2,6273	13,8362	1,228	4,0522	47,2427
5	13,99	1,6094	2,6383	2,696	14,8202	1,0767	5,0498	43,4978
6	15,18	1,7918	2,72	2,7522	15,6771	0,9922	5,8123	42,2844
7	14,98	1,9459	2,7067	2,7997	16,4396	0,9561	6,3193	42,7674
8	17,88	2,0794	2,8837	2,8408	17,13	0,9541	6,5974	44,4772
9	16,78	2,1972	2,8202	2,8771	17,763	0,9753	6,6978	47,1082
10	18,94	2,3026	2,9413	2,9096	18,349	1,0114	6,6738	50,4487
11	20,98	2,3979	3,0436	2,9389	18,8958	1,0568	6,5695	54,3499
12	15,71	2,4849	2,7543	2,9657	19,4092	1,1068	6,4169	58,7071
13	20,74	2,5649	3,0321	2,9904	19,8937	1,1598	6,2377	63,446
14	24,7	2,6391	3,2068	3.0132	20,3532	1,2138	6,0463	68,5134
15	20,78	2,7081	3,034	3,0345	20,7904	1,2678	5,8514	73,8702
16	20,74	2,7726	3,0321	3,0544	21,2079	1,3212	5,6585	79,4872
17	19,75	2,8332	2,9832	3,0731	21,6077	1,3736	5,4709	85,342

Таблиця 2.

t	xlp(t)	xp(t)	Dxlp	xpmin	xpmax
19	3.1073	22.3610	7.1463	0.0176	28385.4
20	3.1231	22.7172	7.1565	0.0177	29131.4
21	3.1382	23.0612	7.1666	0.0178	29874.0

Відповідь.

З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X^0.3081.

Для t_p=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).

Для t_p=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).

Для t_p=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).

Завдання 3.

Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).

Дано:

І	С(і)	D(i)	S(i)	L(i)
1	9,08	10,11	12,29	9
2	10,92	12,72	11,51	8,03
3	12,42	11,78	11,46	9,66
4	10,9	14,87	11,55	11,34
5	11,52	15,32	14	10,99
6	14,88	16,63	11,77	13,23
7	15,2	16,39	13,71	14,02
8	14,08	17,93	13,4	12,78
9	14,48	19,6	14,01	14,14
10	14,7	18,64	1625	14,67
11	18,34	18,92	16,72	15,36
12	17,22	21,22	14,4	15,69
13	19,42	21,84	18,19	17,5

Рішення:

Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А₁Х₁+А₂Х₂+А₃Х₃ .Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції.Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]^T[X]ā=[X]^TY.Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]^T[X]]^-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:

ā=[[X]^T[X]]^-1[X]^Ty, звідки а₁ =0,0603; а ₂=0,151;а₃=0,859.

Складемо таблицю:

І	D(i)	S(i)	L(i)	C(i)	Cроз (i)	1
1	10,11	12,29	9	9,08	10,1954	1,1154
2	12,72	11,51	8,03	10,92	9,4018	-1,5182
3	11,78	11,46	9,66	12,42	10,7376	-1,6824
4	14,87	11,55	11,34	10,9	12,3803	1,4803
5	15,32	14	10,99	11,52	12,4768	0,9568
6	16,63	11,77	13,23	14,88	14,1429	-0,7371
7	16,39	13,71	14,02	15,2	15,1	-0,1
8	17,93	13,4	12,78	14,08	14,0809	0,0009
9	19,6	14,01	14,14	14,48	15,4418	0,9618
10	18,64	16,25	14,67	14,7	16,1774	1,4774
11	18,92	16,72	15,36	18,34	16,8579	-1,4821
12	21,22	14,4	15,69	17,22	16,9296	-0,2904
13	21,84	18,19	17,5	19,42	19,0939	-0,3261

Коефіцієнт множинної детермінації:

13 13

R²=1-Σ(y_i-ŷ_i)²/Σ(y-ỳ)²=0.863

I=1i=1

Визначимо автокореляцію за формулою:

13 13

d=Σ(l_t–l_t-1 )²/Σl_t²=2.0531.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х² . Розрахункове значення Х² знаходимо за формулою:

Х²_р=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]^T [X]│=3.1025

Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3 X²=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.

Відповідь:

Коефіцієнт детермінації R²=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.

Завдання 4.

Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y ,k та L за 12 років.

T	Y(t)	k(t)	L(t)
1	54,24	4,41	11,89
2	49,56	4,97	11,04
3	52,32	6,63	11,46
4	73,92	7,39	15,56
5	67,2	7,44	15,67
6	64,44	8,31	17,44
7	80,04	8,9	15,71
8	93,12	12,12	19,91
9	95,4	14,77	16,52
10	90,54	15,06	21,54
11	116,94	14,21	17,9

Рішення:

Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b₀x₁^b1x₂^b2…x_m^bm,де ŷ -продуктивність ; x₁, x₂,…, x_m –впливові фактори ;b₀ -нормований множник ; b₁, b₂, b_m -коефіціенти еластичності.

Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : ŷ=bx² (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y₁=Ln(y), X₁=Ln(x) та b₁=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y₁= b₁+a X_{1 .} Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами:

n n n n n

a=(nΣX_1i Y_1i - Σ X_1i Σ Y_1i)/(n Σ X ²_1i -(Σ X_1i)²) _=0.3695

_{i=1 i=1 i=1 i=1 i=1}

- -

b₁=Υ₁-aΧ₁=1.7655,b=exp(b₁)=5.8444.

Складемо таблицю:

t	Y(t)	k(t)	L(t)	x=k/l	x	y	y	y
1	54.24	4,41	11,89	0,3709	-0,9918	1,5177	1,39896	4,0651
2	49.56	4,97	11,04	0,4502	-0,7981	1,5017	1,470543	4,3516
3	52.32	6,93	11,46	0,6047	-0,503	1,5185	1,579598	4,853
4	73.92	7,39	15,56	0,4749	-0,7446	1,5583	1,490325	4,4385
5	67.20	7,44	15,67	0,4748	-0,7449	1,4559	1,490214	4,438
6	64.44	8,31	17,44	0,4765	-0,7413	1,307	1,491533	4,4439
7	80.04	8,90	15,71	0,5665	0,5682	1,6282	1,555488	4,7374
8	93.12	12,12	19,91	0,6087	-0,4964	1,5427	1,582051	4,8649
9	95.40	14,77	16,52	0,8941	-0,112	1,7535	1,724102	5,6075
10	90.64	15,06	21,54	0,6992	-0,3579	1,4359	1,633232	5,1204
11	116.94	14,21	17,9	0,7939	-0,2309	1,8769	1,68017	5,3665

Коефіцієнт множинної детермінації