Так, наприклад, якщо маємо рівняння , де – зростаюча або спадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного кореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належить множині значень функції . А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.
Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k дійсних коренів, то його похідна має їх k –1 .
Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних прикладах.
Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та q, щоб рівняння мало три різних дійсних корені?
Розв’язання. Розглянемо функцію
.
Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна
мала два різних нулі. А це буде тоді, коли . Звідси .
Отже, похідна має один додатний і один від’ємний корінь. Тоді функція має обов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що . Отже, .
Приклад 2.Скільки дійсних коренів має рівняння
Розв’язання. Розглянемо функцію
=.
Знайдемо її похідну
=.
Нехай
а) х<0, тоді очевидно, >0;
б) х=0, тоді ;
в) x>0, тоді знову ж таки >0.
Отже, похідна всюди додатна, за винятком однієї ізольованої точки х=0. це означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому дане рівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки , то нуль і є тим єдиним коренем.
Приклад 3.Розв’язати рівняння
.
Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших коренів рівняння не має. Розглянемо функцію
.
Знайдемо її похідну для будь-якого .
Отже, функція зростає на всій числовій осі. Тому рівняння не має більше коренів.
Приклад 4.Розв’язати рівняння
.
Розглянемо функцію .
Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну
.
Очевидно, для .
А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник степеня непарний). Тривіальним коренем є х=1.
Відповідь: 1.
2.4. Текстові задачі на екстремум
Приклад 1.Яке із десяти чисел
найбільше?
Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої послідовності чисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.
Знайдемо це число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію .
Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді:
.
Тоді
.
Знак похідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках. Функція спадає на інтервалі , причому , а . Тому на інтервалі функція f зростає, а на інтервалі – спадає. Тоді найбільше число буде або . Безпосереднє обчислення дає відповідь на поставлене в задачі запитання : є найбільшим серед десяти даних чисел.
Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою і прямою у=4, вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежала на прямій , а вершини верхньої основи на параболі.
Розв’язання. Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN.
.
Позначимо абсциси точок M і N через , а тоді точки D і K матимуть абсцисою точку -.
Отже, DN=2, де DN – ширина прямокутника. Висота прямокутника буде дорівнювати різниці ординат точок M і N, тобто MN=.
Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді:
.
Розглянемо функцію . Її похідна . Точка є точкою максимуму для функції . Тоді
.
Відповідь:.
Приклад 3. Криволінійна трапеція обмежена графіком функції та прямими х=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба провести дотичну, щоб вона відтинала від криволінійної трапеції звичайну трапецію найбільшої площі?
Розв’язання. Позначимо шукану точку через , де . Запишемо рівняння дотичної, яка проходить через точку графіка з абсцисою :
,
.
Знайдемо значення цієї дотичної в точках х=-1, х=2:
,
.
Площу звичайної трапеції запишемо у такому вигляді:
.
Розглянемо функцію
.
Знайдемо її похідну:
.
Функція має єдину критичну точку , в якій вона досягає максимуму.
Відповідь:.
Висновок
Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосування похідної: для дослідження функцій на монотонність та екстремум, знаходження найбільшого та найменшого значення функцій, розглянути прикладні задачі на дослідження функцій, а також задачі на складання рівнянь дотичної, нормалі та деяких інших.
Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхідні теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язання кожного типу задач, після чого наводиться приклади, які розв’язані з повним поясненням.
Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводяться необхідні геометричні інтерпретації.
Всі розглянуті приклади взяті із збірника задач з математики для середньої загальноосвітньої школи.
На нашу думку робота буде корисною для учнів 10, 11 класів загальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій.