Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0, тобто , та значення функції в точці х0, тобто . Цих даних достатньо, щоб записати рівняння дотичної .
2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х0?
Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної ,то .
Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0.
3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій ,що мають спільну абсцису х0:
, .
4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х0.
Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.
У цьому випадку знаходимо
і скористаємося формулою
Приклади:
Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою х0=3.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в точці х0:
скориставшись рівнянням дотичної
,
матимемо
Звідси .
Відповідь:.
Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 в точці (3;5)?
Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.
Знайдемо похідну y’=2x-4.
Тоді . Звідси
Відповідь:
Приклад 3. Дотична до графіка функції
нахилена до осі абсцис під кутом . Знайти координати точки дотику.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції:
.
За умовою y’(x0)=tg=1 маємо
отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).
Відповідь: А(2;2).
Розділ 2
Застосування похідної
2.1. Правила диференціювання
Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)
для любого х є (a; b). Коротше,
(u±n)’ = u±n’
Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді
Також,
Так як
х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:
Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
а)
б)
в)
Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
для любого х є (a; b). Коротше,
Доведення. Позначимо похідні через х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді
Навіть так як
то
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо
Теорема доведена.
Приклад,
а)
б)
в)
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо
Приклади.
а)
б)
Похідна частки двох функцій .
Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для любого х є (a; b), то
для любого х є (a; b).
Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похідної.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді,
Навіть, так як
то
і послідовно
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.
Приклади.
а)
б)
2.2. Дослідження функції та побудова графіка
Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:
1) знайти область визначення функції та множину її значень;
2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;
4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;
5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;
6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;
7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.
Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.
Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.
Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.
Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.
Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.
Для складних функцій можна керуватися такими простими твердженнями:
1. якщо функція парна, то складна функція також парна;
2. якщо функція і непарні, то складна функція непарна;
3. якщо непарна, а функція парна, то складна функція парна;
4. якщо функція періодична, то і складна функція періодична, причому її період може бути меншим за період функції , але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна.
Зручно користуватися такими твердженнями:
1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією;
2. добуток парних функцій є парною функцією;
3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;
4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.
Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.
Приклад 1. Побудувати графік функції
Розв’язання.
1) Область визначення функції f :
Х=.
2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.
3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.
4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.
5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну
;
х=0–критична точка.
Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення
.
6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:
.
На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.
Точки перегину відсутні.
7) Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.
Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:
, .
Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.
.
Приклад 2. Побудувати графік функції:
Розв’язання.
1. Область визначення функції f :
.
2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.
3. Період функції . Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку . Крім того, враховуючи, що , робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої на проміжку . Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку .
4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку . Для цього знайдемо її похідну
.
Для . Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку вона зростає, а в точці має мінімум, який дорівнює 1.
Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках і зростає на проміжках , . В точках набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.
5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку :
.
Звідси безпосередньо випливає, що для . Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках графік функції опуклий вниз.
6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля зліва:
.
Отже, прямі х=0, х= – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х=, – вертикальні асимптоти.
2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь
Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх знаходження.