У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.
Спочатку ознайомимось з поняттям опуклої лінійної комбінації векторів.
Нехай на площині задані точки А1 та А2, що визначають відрізок А1А2, зображений на Малюнку 1. Знайдемо радіус-вектор довільної точки М цього відрізка через радіуси-вектори 1 та 2 точок А1 та А2.
Вектори
колінеарні і однаково напрямлені, тому вони пропорційні. Отже, існує таке t, що:
Звідси одержимо:
Якщо позначити 1 – t = t1, t = t2, то остання рівність прийме вигляд
(1)
(2)
Означення. Опуклою лінійною комбінацією векторів 1 та 2 називають комбінацією (1) цих векторів при умові (2).
Рівняння (1) з умовою (2) можна зрозуміти як векторне рівняння відрізка А1А2.
Означення. Опуклою лінійною комбінацією kn-вимірних векторів називають комбінацію
(3)
при умовах
(4)
Наприклад. Лінійна комбінація , має
,
тому вона опукла.
Означення. Опуклою множиною називається множина, дві довільні точки якої визначають відрізок, що належить цій множині.
Відрізок, півпряма, пряма, кут менший 1800, коло, півплощина, куб, тетраедр, куля – опуклі множини.
На малюнку 2 зображені різні множини. У випадках а) – с) ці множини опуклі, у випадках d) – е) вони неопуклі.
Означення. Граничною точкою множини називають таку точку, в околі якої, як завгодно малого радіуса з центром в цій точці, є точки, що належать множині, і є точки, що не належать множині.
Границею множини називається сукупність всіх її граничних точок.
Множина, якій належить її границя, називається замкненою.
Опуклі замкнені множини бувають обмеженими і не обмеженими. Множина називається обмеженою, якщо існує таке число с > 0, що відстань довільної точки М множини від початку координат обмежена, тобто |ОМ| < 0.
Означення. Опукла замкнена множина в n вимірному просторі, що має скінченне число кутових точок, називається опуклим n вимірною многогранною множиною, якщо вона не обмежена.
Кутові точки називають вершинами, відрізки, що сполучають дві сусідні вершини, називають ребрами.
Означення. Опорною прямою многокутника в двовимірному просторі називається пряма, яка має з многокутником, розташованим по одну сторону від неї, принаймні одну спільну точку.
Опорна пряма з многокутником може мати спільну вершину або ребро.
Останні поняття узагальнюються на випадок n вимірного простору.
Означення. Опорною гіперплощиною опуклої замкненої множини n вимірного простору називається гіперплощина, що має з цією множиною, розташованою по одну сторону від неї, хоч би одну спільну точку.
Опорна гіперплощина з множиною може мати спільну вершину, ребро або грань.