З вищої математики на тему:
МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ
1. Коротка історична довідка
Основи теорії множин були закладені відомим німецьким математиком Георгом Кантором у другій половині минулого століття. Поява теорії множин була зустрінута з ентузіазмом багатьма авторитетними математиками. Вони побачили в ній можливість створення метамови математики, тобто формальної одностайної системи понять і принципів, за допомогою якої можна було б викласти з єдиних позицій зміст різноманітних традиційно далеких один від одного розділів математики. Перші такі досить успішні спроби були виконані вже незабаром після виникнення канторівської теорії множин.
Однак пізніші дослідники виявили в теорії Кантора чимало суперечностей: так званих парадоксів або антиномій теорії множин. Виникла кризова ситуація. Одна частина математиків, посилаючись на штучність сформульованих антиномій, вважала за краще не помічати ці суперечності або не надавати їм великого значення. У той час як інша (скажімо, відповідальніша) група математиків зосередила свої зусилля на пошуках більш обгрунтованих та точних принципів і концепцій, на яких могла б бути побудована несуперечлива теорія множин.
У результаті було запропоновано кілька формальних (або аксіоматичних) систем, які служать фундаментом сучасної теорії множин, а значить, фундаментом всієї класичної математики. Важливість цих досліджень серед іншого підкреслює той факт, що значний внесок у становлення аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики і мислителі нашого століття, як Б.Рассел, Д.Гільберт, К.Гедель та ін.
Сьогодні теорія множин - це математична теорія, на якій грунтується більшість розділів сучасної математики, як неперервної, так і дискретної.
Докладніше з історією виникнення та розвитку теорії множин можна ознайомитись, прочитавши цікаву монографію А.Френкеля і І.Бар-Хіллела "Основи теорії множин" або книгу М.Клайна "Математика. Втрата певності".
2. Поняття множини. Способи задання множин
Для наших цілей достатньо буде викладення основ так званої інтуїтивної або наївної теорії множин, яка в головних своїх положеннях зберігає ідеї та результати засновника теорії Г.Кантора.
В інтуїтивній теорії множин поняття "множина" належить до первинних невизначальних понять, тобто воно не може бути означено через інші більш прості терміни або об’єкти, а пояснюється на прикладах, апелюючи до нашої уяви та інтуіції. Такими поняттями в математиці є також поняття "число", "пряма", "точка", "площина" тощо.
Канторівський вираз: "Множина - це зібрання в єдине ціле визначених об’єктів, які чітко розрізняються нашою інтуіцією або нашою думкою" - безумовно не може вважатися строгим математичним означенням, а є скоріше поясненням поняття множини, яке заміняє термін "множина" на термін "зібрання". Іншими синонімами основного слова "множина" є "сукупність", "набір", "колекція", "об’єднання" тощо.
Прикладами множин можуть служити: множина десяткових цифр, множина літер українського алфавіту, множина мешканців Києва, множина парних чисел, множина розв’язків деякого рівняння та ін.
На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, Z - множина цілих чисел, N - множина натуральних чисел, Q - множина раціональних чисел, R - множина дійсних чисел тощо.
Об’єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами. Елементи множин позначатимемо малими літерами латинського алфавіту. Той факт, що об’єкт a є елементом множини M записується так: aÎM (читається: "a належить M" або"a є елемент M"). Знак належності елемента множині Î є стилізацією першої літери грецького слова esti (бути). Для того, щоб підкреслити, що деякий елемент a не належить множині M, вживають позначення aÏM або aM.
Запис a,b,c,...ÎM використовують для скорочення запису aÎM, bÎM, cÎM,....
Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. У противному разі множина є нескінченною.
Для задання множини, утвореної з будь-яких елементів, будемо використовувати два такі способи. В основі обох із них лежить позначення множини за допомогою фігурних дужок.
1. Якщо a1,a2,...,an - деякі об’єкти, то множина цих об’єктів позначається через {a1,a2,...,an}, де у фігурних дужках міститься перелік усіх елементів відповідної множини. З останнього зауваження випливає, що в такий спосіб можуть бути задані тільки скінченні множини. Порядок запису елементів множини при цьому позначенні є неістотним.
Приклад 1.1. Множина десяткових цифр записується {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, множина основних арифметичних операцій - {+,-,*,/} або {*,/,+,-}, множина розв’язків нерівності (x-1)2£ 0 - {1}.
Слід пікреслити, що однією з основних ідей канторівської теорії множин був розгляд множини як нового самостійного об’єкта математичного дослідження. Тому необхідно розрізняти такі два різні об’єкти, як елемент a і множина {a}, яка складається з єдиного елемента a. Зокрема, множини можуть виступати в ролі елементів якоїсь іншої множини. Наприклад, множина всіх можливих пар з елементів a, b і cD = {{a,b},{a,c},{b,c}} складається з трьох елементів і задана цілком коректно.
2. Другий спосіб задання множин грунтується на зазначенні загальної властивості або породжувальної процедури для всіх об’єктів, що утворюють описувану множину.
У загальному випадку задання множини M має вигляд:
M = {a | P(a)}.
Цей вираз читається так: "множина M - це множина всіх таких елементів a, для яких виконується властивість P", де через P(a) позначено властивість, яку мають елементи множини M і тільки вони. Замість вертикальної риски іноді записують двокрапку.
Приклад 1.2.
S = { n | n - непарне число } або S = { n | n = 2k+1, kÎZ },
X = { x | x = pk, kÎZ },
F = { fi | fi+2 = fi+1 + fi, iÎN, f1 = f2 = 1 }.
Другий спосіб є більш загальним способом задання множин. Наприклад, введену вище множину D всіх пар з елементів a, b і c можна задати так
D = { {x,y} | xÎ{a,b,c}, yÎ{a,b,c} і x¹y}. (1.1)
З метою зручності та одностайності при проведенні математичних викладок вводиться поняття множини, яка не містить жодного елемента. Така множина називається порожньою множиною і позначається Æ. Наприклад, якщо досліджується множина об’єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з’ясовується, що таких об’єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означати за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: Æ={x | x¹x} тощо. Разом із тим, твердженням "множина M - непорожня" можна замінювати рівносильне йому твердження "існують елементи, які належать множині M".
3. Підмножини
Дві множини A і B називаються рівними (записується A=B), якщо вони складаються з тих самих елементів.
Множина A називається підмножиною множини B (записується AÍB або BÊA) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки Í і Ê називаються знаками включення.
Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: AÍB і BÍA. Крім того, якщо AÍB і BÍC, то AÍC. Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.
Якщо AÍB, однак A¹B, то пишуть AÌB і називають множину Aвласною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак Ì (або É), на відміну від знака Í (або Ê), називається знаком строгого включення.
Очевидно, що для будь-якої множини A виконується AÍA. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто ÆÍA (зокрема, ÆÍÆ).
Слід чітко розуміти різницю між знаками Î і Í і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a}ÍM, то aÎM, і навпаки.
Однак із включення {a}ÍM, взагалі кажучи, не випливає {a}ÎM. Для будь-якого об’єкта x виконується xÏÆ. Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b}ÎD, {{a,b},{b,c}}ÍD, aÎ{a,b}, {c}Ï{a,c}, {a}Í{a,b}.
4. Операції над множинами та їхні властивості
Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій), результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.
Нехай A і B деякі множини.
а) Об’єднанням множин A і B (позначається AÈB ) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об’єднання множин записується так
AÈB = { x | xÎA або xÎB} або xÎAÈB Û
Приклад 1.3. {a,b,c} È {a,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.