Пьер Симон Лаплас. Возникновение небесной механики (стр. 4 из 7)

XVIII. Еще о математике Лапласа

Приведем краткую дополнительную справку о математических работах Лапласа.

Прежде всего обратимся к дифференциальному уравнению Лапласа. Прибегая постоянно к аналитическому математическому методу при решении задач теоретической физики и механики, в частности – небесной механики, т. е. механики взаимодействия небесных тел, Лаплас попутно развивал математические методы.

Если, например, обозначить через

величину отклонения тела от положения равновесия в момент , то ускорение движения тела в этот момент выражается второй производной . Сила , действующая на тело массы при небольших растяжениях пружин, по законам теории упругости пропорциональна отклонению. Приходим к дифференциальному уравнению

В этом примере мы имеем одну независимую переменную. При большом числе переменных возникают частные производные. Уравнение

есть уравнение с двумя частными производными.

Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, с тремя произвольными переменными

и искомой функцией называется уравнением Лапласа. К нему приводится решение и других задач физики и техники. Уравнению Лапласа удовлетворяет установившаяся температура и электрический потенциал внутри однородного тела, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и т. п.

Фундаментальными являются его работы по дифференциальным уравнениям, в частности первые общие методы интегрирования уравнений в частных производных (метод каскадов), а также метод производящих функций и так называемое преобразование Лапласа, с особенным успехом применяемое в теории вероятностей. В алгебре ему принадлежит знаменитая теорема о представлении определителей при помощи сумм произведений дополнительных миноров. Лаплас ввел в науку важные шаровые функции. Он является основателем современной теории вероятностей, составляющей математическую основу изучения статистических закономерностей в явлениях природы и общества. О ней мы поговорим дальше.

Здесь же отметим, что в области физики Лаплас разработал теорию капиллярности, дал правильную формулу для скорости звука в воздухе, вывел барометрическую формулу, которая позволяет определять разность высот двух пунктов или высоту над уровнем моря

:

м,
где

и – давление атмосферы на этих уровнях, а – средняя температура слоя воздуха в градусах Цельсия. Формула эта имеет широчайшее применение. Лаплас установил также закон взаимодействия между элементом тока и магнитным полюсом, вывел формулу для поверхностного натяжения жидкостей и провел ряд других исследований.

XIX. Методы познания

Из различных научных методов Лаплас предпочитает методы индукции и аналогий: «Индукция и аналогия гипотез, основанных на фактах и постоянно проверяемых новыми наблюдениями, счастливое осязание, даваемое природой и укрепляемое многочисленными сравнениями этих указаний с опытом, – таковы основные средства познания истины... Если бы человек ограничивался собиранием фактов, наука была бы лишь выхолощенной номенклатурой и никогда бы не познала великих законов природы. Сравнивая между собой факты, фиксируя их взаимоотношения и восходя таким путем ко все более и более общим явлениям, мы достигаем, наконец, открытия этих законов, всегда проявляющихся самым разнообразным способом".

В эти словах выразились все основные представления Лапласа о путях познания природы. Они очень ценны; как справедливо сказал Араго, никто не был удачливее Лапласа в установлении самой глубокой связи между явлениями, на первый взгляд весьма далекими друг от друга. Точно так же никто не был так счастлив в извлечении многочисленных и важных методов из неожиданных сопоставлений.

Метод познания природы, рекомендуемый Лапласом недооценивает, однако, значения дедукции, т. е. вывод законов из общих оснований умозрительно. В этом отношении Лаплас разделял господствовавшее в его время преклонение перед методом индукции. Весь период с середины XVII до середины XVIII веков был заполнен борьбой между сторонниками методов индукции и дедукции – борьбой, исторически необходимой и подготовившей синтез обоих методов суждения в философии диалектического материализма.

Рационалистическая школа Декарта, созданная им система мировоззрения (картезианство) тяготела к методу дедукции и из него пыталась вывести общие и специфические законы природы. Вместе с открытием закона всемирного тяготения Ньютон высоко поднял знамя индукции и гордо отверг не только роль дедукции, но и роль научных гипотез.

Успехи ньютоновской механики постепенно заставили умолкнуть противников индуктивного метода даже на родине картезианства, во Франции. Школа французских естествоиспытателей, взяв на себя дальнейшее развитие ньютоновских теорий, переняла и преклонение перед методом индукции, оставив вместе с декартовской теорией вихрей картезианскую методологию. Недаром в ряды первых ньютонианцев вошли крупнейшие мыслители века, добившиеся множества совершенно реальных достижений; картезианцы ничего не могли им противопоставить.

Находясь в первой шеренге ньютонианцев, Лаплас убежденно пишет: «Декарт заменил древние заблуждения новыми, более привлекательными, и, поддерживаемый всем авторитетом его геометрических трудов, уничтожил влияние Аристотеля. Английские ученые, современники Ньютона, приняли вслед за ним метод индукции, ставший основой многих превосходных работ по физике и по анализу. Философы древности, следуя по противоположному пути, придумывали общие принципы, чтобы ими объяснить все существующее. Их метод, породивший лишь бесплодные системы, имел не больше успеха в руках Декарта... Наконец, ненужность гипотез, им порожденных, и прогресс, которым науки обязаны методу индукции, привели к нему умы; Бэкон установил этот метод со всей силой ума и красноречия, а Ньютон еще сильнее зарекомендовал [его] своими открытиями».

В своем изложении системы мира Лаплас высказывается так: «Сгорая нетерпением узнать причины явлений, ученый, одаренный живым воображением, часто предвидит то, чего нельзя вывести из запаса существующих наблюдений. Без сомнения, самый верный путь – от явлений восходить к их причинам; однако история науки убеждает нас, что люди, открывшие законы природы, не всегда шли этим долгим и трудным путем. Они вверялись своему воображению. Но как много заблуждений открывает нам этот опасный путь! Воображение рисует нам причину, которой противоречат факты; мы перетолковываем последние, подгоняя их к нашей гипотезе, мы искажаем, таким образом, природу в угоду нашему воображению: время неумолимо разрушает такую работу и вечным остается только то, что не противоречит наблюдению.

Лаплас, сопоставляя методологию Декарта, боровшегося со схоластикой Аристотеля, с древнегреческими умозрительными теориями, восхваляет Бэкона – другого борца против той же схоластики, но борца, опиравшегося, подобно Галилею, на эмпиризм. Очевидно, подлинная, только что родившаяся наука, едва избавившись от схоластической паутины средневековья, всюду опасалась встретить эту схоластику возрожденной под какой-нибудь маской.

Между тем индукция и дедукция связаны между собой так же тесно, как синтез и анализ. Энгельс в «Диалектике природы» разрешил этот спор, указав, что вместо превознесения одной из них до небес за счет другой лучше стараться применять каждую на своем месте. Успеха можно добиться, лишь имея в виду связь этих методов между собой, их взаимное дополнение друг другом.

Недооценивая роль гипотез, как видно из приведенной цитаты Лапласа и из всего его практического творчества, он только отдавал дань духу времени. В области небесной механики Лаплас мог еще обходиться без гипотез, хотя в скрытой форме он должен был нередко ими пользоваться. Араго говорил, что ни один геометр не остерегался так решительно духа гипотез, как Лаплас, который отступил от своего правила лишь однажды, – создавая свою космогоническую гипотезу.

Многие современники Лапласа выражались гораздо решительнее его и о методе индукции, и о гипотезах даже тогда, когда круг их работ нуждался в гипотезе как в могучем сотруднике исследователя сильнее, чем небесная механика. Например, химик Лавуазье, отчасти единомышленник Лапласа, писал: «Гипотеза есть яд разумении и чума философии; можно делать только те заключения и построения, которые непосредственно вытекают из опыта».

Из методов изучения природы Лаплас предпочитает анализ. Этот метод, говорит он, позволяет разлагать и восстанавливать явления, в совершенстве выясняя их взаимоотношения. Этому методу, по его мнению, разум обязан всем, что ему точно известно о природе вещей.

Однако и геометрический синтез Лаплас не оставляет без внимания. Он отмечает, что мысленные операции анализа, становясь наглядными в геометрическом воплощении, могут быть легче усвоены и следить за ними интереснее. Это соответствие между анализом и геометрией является одной из наиболее увлекательных особенностей математических построений. Когда непосредственные наблюдения реально воплощают эти геометрические образы и превращают математические результаты в закон природы, обнажающий перед взором человека прошедшее и будущее Вселенной, тогда, говорит Лаплас, это величественное зрелище доставляет наиболее благородное из наслаждений, доступных человеку...