Исследование движения центра масс межпланетных космических аппаратов (стр. 3 из 14)

,

где ¦ - постоянная притяжения,

r_o - единичный вектор, направленный от М к m,

,

где

- радиус-вектор, проведенный из т.М до т.m.

r - относительное расстояние от М до m.

На точку М действует сила F_z, равная по величине и направленная в противоположную сторону.

На основе второго закона Ньютона уравнения движения материальных точек М и m имеют вид:

(1), (2)

или

(3), (4)

где p₁ - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку m.

p₂ - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку М.

.

Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), получим уравнение движения материальной точки m относительно притягивающего центра М:

Так как m<<М, следовательно, можно пренебречь ускорением, которое КА с массой m сообщает притягивающему центру М. Тогда можно совместить начало инерциальной системы координат с притягивающим центром М. Следовательно,

.

Таким образом, уравнение невозмущенного движения КА относительно притягивающего центра М в инерциальной системе координат, центр которой находится в М, имеет вид

,

где m = fM - гравитационная постоянная Земли.

Рассмотрим возмущенное движение КА в геоцентрической экваториальной (абсолютной) системе координат OXYZ:

- начало О - в центре масс Земли.

- ось X направлена в точку весеннего равноденствия g.

- ось Z совпадает с осью вращения Земли и направлена на Северный полюс Земли.

- ось Y дополняет систему до правой.

Движение КА в абсолютной системе координат OXYZ происходит под действием центральной силы притяжения Земли F_z, а также под действием возмущающих сил F_в. Уравнение движения имеет вид

или

где m = 597 кг - масса КА.

В проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ получим

или

или

или

где ax_в, ay_в, az_в - возмущающиеся ускорения.

Основные возмущающиеся ускорения вызываются следующими причинами:

- нецентральностью поля притяжения Земли.

- сопротивлением атмосферы Земли.

- влиянием Солнца.

- влиянием Луны.

- давлением солнечного света.

2.4.2. ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МКА

1) Возмущающееся ускорение, вызванное нецентральностью гравитационного поля Земли.

Рассмотрим потенциал поля притяжения Земли. При точном расчете параметров орбиты спутников, в качестве хорошего приближения к действительной поверхности Земли принимают геоид. Геоид - это гипотетическая уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью спокойного океана и продолженная под материком.

Иногда в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое ограничено поверхностью мирового океана при некотором среднем уровне воды, свободной от возмущений. Во всех точках геоида потенциал притяжения имеет одно и то же значение.

Потенциал притяжения Земли можно представить в виде разложения по сферическим функциям.

где m_z = fM_z - гравитационная постоянная Земли.

r₀ - средний экваториальный радиус Земли.

с_nm, d_nm - коэффициенты, определяемые из гравиметрических данных, а также по наблюдениям за движением ИСЗ.

L - долгота притягивающей точки.

j - широта притягивающей точки.

P_nm(sinj) - присоединенные функции Лежандра степени m и порядка n (при m ¹ 0).

P_nm(sinj) - многочлен Лежандра порядка n (при m = 0).

Составляющие типа (m_z/r)(r₀/r)ⁿc_n0P_n0(sinj) - называют зональными гармониками n-порядка. Т.к. полином Лежандра n-го порядка имеет n действительных корней, функция P_n0(sinj) будет менять знак на n широтах, сфера делится на n+1 широтную зону, где эти составляющие имеют попеременно «+» или «-» значения. Поэтому их называют зональными гармониками.

Составляющие типа

(m_z/r)(r₀/r)ⁿc_nmcos(mL)P_nm(sinj) и (m_z/r)(r₀/r)ⁿd_nmsin(mL)P_nm(sinj)

- называют тессеральными гармониками n-порядка и степени m. Они обращаются в 0 на 2m меридианах, где cos(mL) = 0 и sin(mL) = 0 и на n-m параллелях, где P_nm(sinj) = 0 или d^mP_nm(sinj)/d(sinj)^m = 0, сфера делится на n+m+1 трапецию, где эти составляющие сохраняют знак.

Составляющие типа и

(m_z/r)(r₀/r)ⁿc_nncos(nL)P_nn(sinj) и (m_z/r)(r₀/r)ⁿd_nnsin(nL)P_nn(sinj)

- называют секториальными гармониками n-порядка и степени m. Эти составляющие меняю знак только на меридианах, cos(nL) = 0 и sin(nL) = 0, на сфере выделяют 2n меридиональных секторов, где эти составляющие сохраняют знак.

Многочлен Лежандра степени n находится по следующей формуле:

P_n0(z) = 1/(2ⁿn!)´(dⁿ(z² - 1)ⁿ/dzⁿ)

Присоединенная функция Лежандра порядка n и степени m находится по следующей формуле:

P_nm(z) = (1-z²)^m/2´d^mP_n0(z)/dz^m

Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли равна

U_в = U’ + DU’ = (U - m_z/r) + DU’

где DU’ - потенциал аномалий силы тяготения Земли.

U’ - часть потенциала Земли, которая учитывает несферичность Земли.

Следовательно,

Первая зональная гармоника в разложении потенциала учитывает полярное сжатие Земли.

Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники, где n-m нечетное число - учитывают ассиметрию Земли относительно плоскости экватора.

Секториальные и тессеральные гармоники - учитывают ассиметрию Земли относительно оси вращения.

Первая зональная гармоника имеет порядок 10^-3, а все остальные - порядок 10^-6 и выше. Поэтому будем учитывать в разложении потенциала притяжения только зональную гармонику (n=2, m=0) и секторальную гармонику (n=2, m=2). Также не будем учитывать потенциал аномалий силы тяготения Земли DU’.

Таким образом,

U_в = (m_z/r)(r₀/r)²[c₂₀P₂₀(sinj) + (c₂₂cos(2L) + d₂₂sin(2L))P₂₂(sinj)],

где c₂₀ = - 0,00109808,

c₂₂= 0,00000574,

d₂₂ = - 0,00000158.

P₂₀(x) = 1/2²2!´d²(x² - 1)²/dx².

Следовательно P₂₀(x) = (3x² - 1)/2.

Так как sinj = z/r, следовательно P₂₀(sinj) = (3(z/r)² - 1)/2.

P₂₂(x) = (1 - x²)^2/2´d²P₂₀(x)/dx² = 1/2´(1 - x²)´d²(3x² - 1)/dx²

Следовательно P₂₂(x) = 3(1 - x²).

Так как sinj = z/r, следовательно P₂₂(sinj) = 3(1 - (z/r)²).

Значит

Чтобы найти возмущающее ускорение от нецентральности поля тяготения Земли в проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ, надо взять производные от возмущающего потенциала U_в по координатам X, Y, Z, причем r = Ö(x² + y² + z²).

Следовательно,

2) Возмущающее ускорение, вызванное сопротивлением атмосферы.

При движении в атмосфере на КА действует сила аэродинамического ускорения R_x, направленная против вектора скорости КА относительно атмосферы: