УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
СОДЕРЖАНИЕ
1. Уравнение в полных дифференциалах. 3
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 10
Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.
Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.
Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных[1].
Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).
1. Уравнение в полных дифференциалах.
Пусть уравнение вида f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая дифференцируемая функция F(t, x), что
dF(t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt ((t, x) О D(f) = D(g)).
Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:
F(t, x) = C (t, x Î D1).
Доказательство. Пусть функции t = y(s), x = j(s) определены на некотором промежутке J Ì R. Тот факт, что пара (y, j) есть решение уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C эквивалентен тождеству
[f(t, x)dx + g(t, x)dt]|t = y, dt = y¢ds, x = j, dx = j¢dsº 0,
которое, в свою очередь эквивалентно тождеству
[dF(t, x)]|t = y, dt = y¢ds, x = j, dx = j¢dsº 0.
Последнее в точности означает, что
d[F(t, x)]|t = y, x = j º 0 и y, j Î D1,
или, что, то же,
F[y(s), j(s)] º C и y, j Î D1.
Таким образом, f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C
Û F(t, x) = C (t, x Î D1).
Для уравнения с разделяющимися переменными f(x)dx – g(t)dt = 0 существует функция F(t, x) = F(x) – G(t), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах.
Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах[2]. Пусть в уравнении
f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0
функции fi(x) = fi(x1, ..., xn) непрерывны вместе со своими частными производными ¶fi/¶xk (i ¹ k) на декартовом произведении интервалов J1 × J2×... × Jn = D.
Тогда левая часть уравнения f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции F(x) в том и только том случае, если
| ¶Fi ¶xk | = | ¶Fk ¶xi | (i, k = 1, 2, ..., n; i ¹ k; x Î D). |
При этом функция F находится по формуле
| F(x) = | n | ò | xk x0k | f(x1, ..., xk–1, x, x0k+1, ..., x0n) dx |
(x0k Î Jk — произвольные фиксированные точки), а полный интеграл уравнения f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0 можно записать в виде:
F(x) = C (x Î D1).
В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными
f1(x1)dx1 + f2(x2)dx2 + ... + fn(xn)dxn = 0,
если функции fk: Jk ® R непрерывны; полный интеграл имеет вид
F1(x1) + F2(x2) + ... + Fn(xn) = 0,
где Fk –первообразная fk (k = 1, ..., n).
Итак, если для уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах:
| ¶f ¶t | = | ¶g ¶x | ((t, x) Î J1×J2). |
не выполнено, то иногда удается найти функцию m = m(t, x), такую, что для уравнения
m · f(t, x)dx + m · g(t, x)dt = 0
оно уже выполнено. В этом случае функция m называется интегрирующим множителем. Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t.
Если, например, считать, что m зависит только от x, то
| ¶m · f ¶t | = m | ¶f ¶t | = | ¶m · g ¶x | = m¢ + m | ¶g ¶x | , |
и аналог условия
| ¶f ¶t | = | ¶g ¶x | ((t, x) Î J1×J2). |
для m · f(t, x)dx + m · g(t, x)dt = 0 выглядит так:
| m¢ = | é ê ë | æ ç è | ¶f ¶t | – | ¶g ¶x | ö ÷ ø | / | g | ù ú û | · m. |
Если выражение в квадратных скобках не зависит от t, то
| m¢ = | é ê ë | æ ç è | ¶f ¶t | – | ¶g ¶x | ö ÷ ø | / | g | ù ú û | · m. |
есть линейное однородное уравнение относительно m = m(x); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C .
Аналогично ищется интегрирующий множитель, зависящий только от t.
Найдем интегрирующий множитель m = m(x) для уравнения
(3t2/x2 – 1)dt + (3 – 2t/x)dx = 0
(оно получено почленным делением уравнения (3t2 – x2)dt + (3x2 – 2tx)dx = 0 на x2, поэтому мы заранее знаем, что интегрирующий множитель m = x2 существует). Выпишем для уравнения (3t2/x2 – 1)dt + (3 – 2t/x)dx = 0, умноженного почленно на m, условие полного дифференциала:
| ¶m · (3 – 2t/x) ¶t | = m · | æ ç è | – | 2 x | ö ÷ ø | ; |
| ¶m · (3t2/x2 – 1) ¶x | = m¢(3t2/x2 – 1) + m · | æ ç è | – | 6t2 x3 | ö ÷ ø | ; |
,
| m¢ = | é ê ë | æ ç è | – | 2 x | + | 6t2 x3 | ö ÷ ø | / | (3t2/x2 – 1) | ù ú û | · m = | 2 x | m. |
Поскольку выражение в квадратных скобках оказалось не зависящим от t, искомый интегрирующий множитель существует и находится из уравнения: