Задание для курсовой работы (стр. 4 из 7)
Раздел 2
Синтез цифрового фильтра Баттерворта НЧ
1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ по данным раздела 1.
Для этого необходимо:
а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя;
б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости;
в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.
2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (HБ(z)).
3 Построить схемы цифрового фильтра Баттерворта.
4 Построить частотные характеристики фильтра Баттерворта.
Для этого необходимо:
а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) HБ(jω);
б) используя выражение КПФ, построить частотные характеристики HБ(ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.
1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:
, (2.1)где
.2. Квадрат модуля передаточной функции с полиномом Баттерворта определяется по формуле [3]:
, (2.2)где Сn – коэффициент при старшей степени полинома знаменателя функции квадрата модуля.
Данную формулу удобнее использовать в несколько ином виде, разделив числитель и знаменатель на Сn:
. (2.3)Затухание ФНЧ Баттерворта определяется по формуле [3]
, (2.4)где ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания.
Из формул (5.1.4) выходит, что
, (2.5)3. Корни квадрата модуля определяются из уравнения
. Известно, что для устойчивой цепи корни должны располагаться в левой полуплоскости, поэтому для синтеза фильтра выбирают только корни вида: 
. (2.6)Для функции порядка n эти корни будут иметь вид [4]:
, (2.7)где k = 1,2,3…n.
Передаточная функция формируется в виде произведений полиномов второй степени (биквад) для чётных порядков. В случае нечётных порядков добавляется полином первого порядка.
Передаточная функция в общем виде будет иметь вид:
– для четных n:
, (2.8)где
и 
– комплексно-сопряженные корни;для нечетных n:
. (2.9)Вначале находятся корни для Сn = 1. Все корни этого полинома располагаются на единичной окружности. Произведение двух комплексно-сопряженных сомножителей имеет вид:
(2.10)Если Сn ≠ 1, то корни будут расположены на окружности радиусом
. Далее составляются биквады, при этом объединяются пары комплексно-сопряженных корней.Значения корней умножают на δ. Это значит, что в сомножителе первой степени вместо 1 необходимо поставить δ, а в сомножителях второй степени коэффициент при первой степени умножается на δ, а свободный член на δ2:
.На рис. 4 изображено семейство частотных характеристик при различных коэффициентах Сn.
Далее операторная передаточ- ная функция аналогового фильтра H(p) преобразуется в операторную передаточную функцию цифрового фильтра с помощью билинейного z-преобразования [см. приложение А].Для построения схемы и частотных характеристик фильтра можно воспользоваться приложе- ниями В и Г соответственно.
Раздел 3
Синтез цифрового фильтра Чебышева
1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ.
Для этого необходимо:
а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя.
б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости.
в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.
2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (HЧ(z)).
3 Построить схемы цифрового фильтра Чебышева.
4 Построить частотные характеристики фильтра Чебышева.
Для этого необходимо:
а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) HЧ(jω).
б) Используя выражение КПФ, построить частотные характеристики HЧ(ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.
1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:
2.
. (3.1)3. Квадрат модуля передаточной функции ФНЧ Чебышева [3]:
, (3.2)где
– полином Чебышева степени n.Затухание ФНЧ Чебышева определяется как:
. (3.3)Корни передаточной функции полинома Чебышева расположенные в левой полуплоскости рассчитываются по формуле:
, (3.4)где коэффициент неравномерности в полосе пропускания определяется как
, (3.5)k = 1, 2,…, n.
Передаточная функция подлежащая реализации примет вид [4]:
– для четных n:
, (3.6)для нечетных n:
, (3.7)где
, 
– комплексно-сопряженные корни.Далее составляются пары комплексно-сопряженных корней и записывается передаточная функция в виде произведения полиномов второго порядка.
Дальнейшие преобразования операторной передаточной функции аналогично преобразованиям аппроксимации по Баттерворту.
Раздел 4
Построение частотных характеристик
Для определения частотных характеристик фильтра необходимо перейти от передаточной функции H(z) к H(
), для чего выполняют замену 
. 
Далее выполняются преобразования по формуле Эйлера:
Производится замена:
где
– нормированная частота, 
При расчетах n принимать равно 1, так как функция
периодическая.С учетом введенных замен комплексная передаточная функция может быть представлена:
,– модуль:
;– аргумент:
.По этим зависимостям можно рассчитать АЧХ и ФЧХ.
Раздел 5
Построение схем цифрового фильтра
Обобщенная структурная схема ЦФ во временной области изображена на рисунке (5.1):При канонической реали- зации по передаточной функции
число умно- жителей равно сумме количества коэффициентов 
и 
; используется 2 сумматора, количество ре- гистров сдвига равно M.Обобщенная структурная схема ЦФ непосредственной реализации изображена на рисунке (5.2):
Рисунок 5.2 – Структурная схема канонической реализации фильтра (операторная схема замещения)