Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №10, 11, 12 для студентов специальности 120100 заочной формы обучения (стр. 3 из 8)
Решение. Угловой коэффициент ОА (рис.1) равен h/(l/2), т.е. 2h/l. Следовательно, уравнение этой пря мой есть u=(2h/l)x.Прямая АВ отсекает на осях координат отрезки l и 2h, поэтому уравнение этой прямой имеет вид х/l+u/(2h)=l, или u=(2h/l)(l-x). Итак,
. Интегрируя по частям, получаем: 
Следовательно,
Выпишем несколько членов ряда:
Пример 2. Вычислить интеграл
где l:а) отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2i;
б) дуга параболы y=2x2 от точки 0 до точки 1+2i.
Решение. Так как l - отрезок прямой y=2x (рис. 2) и Imz=y, то
Так как для всех точек l имеем y=2x2, то (рис. 3)
Пример 3. Найти оригинал x(t) по заданному изображению X(p), где
Решение. Разложим дробь на простейшие дроби:
Поэтому
Полагая в этом тождестве последовательно р=-1, р=0 и приравнивая коэффициенты при р2, находим: 2А=3; 3А+С=2; А+В=1, откуда A=3/2, B=-1/2, C=1/2.Таким образом, получаем: 
Перейдем от изображений к оригиналам, используя таблицу 2:
Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: x//-2x/+2x=2t-2, x(0)=x/(0)=0.
Решение. Пусть x(t)
X(p). По теореме о дифференцировании оригинала получаем изображения производных функции x(t):x/(t)
рX(p)-x(0)=рX(p),x//(t)
р2X(p)-px(0)-x/(0)=р2X(p).Так как
,то приходим к операторному уравнению
,из которого находим изображение X(p) частного решения дифференциального уравнения:
Методом неопределенных коэффициентов находим разложение этой дроби в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функций:
Следовательно,
Контрольная работа № 12
Теория вероятностей и математическая статистика
Литература: [6], гл. 1 – 8; [7], гл. 1 - 4; [11], гл. 1 - 3.
Классическое определение вероятности событий
Пример 1. Пусть в урне имеется 12 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность извлечь белый шар?
Решение. При выборе шара равновозможно извлечь любой из 19 шаров, n=19. Из этих 19 шаров белого цвета 12, т.е. m=12. Таким образом, вероятность вынуть белый шар равна:
Аналогично, вероятность извлечь черный шар
Теорема сложения вероятностей
Пример 2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрывается 100 вещевых и 10 денежных выигрышей. Определить вероятность денежного или вещевого выигрыша на один лотерейный билет.
Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в том, что выиграна вещь, вероятность этого события:
Событие В – выиграны деньги:
События А и В несовместные, так как один билет может выиграть либо вещь, либо деньги. Событие А+В состоит в выигрыше или вещи, или денег. Согласно теореме сложения вероятностей для несовместных событий находим:
Теорема умножения вероятностей
Пример 3. Имеется 10 радиоламп, среди которых 3 неисправные, на вид не отличающиеся от новых. Наугад выбирают друг за другом две лампы. Какова вероятность того, что обе лампы окажутся исправными.
Решение. Пусть событие А1 состоит в том, что первая лампа окажется исправной. Вероятность Р(А1) = 7/10.
Событие А2 – вторая лампа исправна. Вероятность второго события будет зависеть от события А2.:Событиe А1А2 состоит в том, что обе лампы исправны. Применяем теорему умножения вероятностей зависимых событий:
Пример 4. Прибор состоит из двух узлов, которые во время работы могут независимо друг от друга выходить из строя. Пусть вероятность безотказ- ной работы первого узла в течение гарантийного срока равна 0,7, а второго 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор будет работать исправно.
Решение. Прибор работает исправно, если два узла работают без сбоев. Пусть событие А1 состоит в том, что первый узел работает Р(А1) = 0,7. Событие А2 – второй узел работает Р(А2) = 0,9. Тогда, вероятность того, что оба узла работают, найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:
