по математике «Уравнения Пелля» (стр. 3 из 3)
Теорема 2. Любое уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.
5. Решение уравнения Пелля, основанное на цепных дробях.
Введем понятие цепных дробей.
Любое нецелое число можно представить в виде
, где 
-целое число, а 
>1. Действительно, в качестве 
нужно взять целую часть числа 
, а в качестве - обратное число к его дробной части . Такое представление единственное , поскольку из условия >1следует, 0< 
<1, поэтому 
– дробная часть , а значит, - целая часть 
. Если число оказалось нецелым , то его в свою очередь можно представить в виде 
и т.д. В результате мы получим представление числа в виде 
.Правая часть данного выражения называется конечной периодической цепной дробью. Если же все
не являются целыми, то выражение, стоящее в правой части равенства 
называется бесконечной цепной дробью.Обобщенная конечная цепная дробь
представляет собой некоторое рациональное число 
Дробь 
будем считать несократимой. Она называется n-й подходящей дробью цепной дроби.Теорема 3. Если несократимая дробь
такова, что 
, то является подходящей дробью числа .Теорема 4. Пусть (х, у) – положительное решение уравнения Пелля. Тогда
является подходящей дробью 
.Доказательство: Так как х>у>0 и
>1, то х+у >2у.Значит, 1=х2 – mу2 = (х - у
)(х+у )>(х - у )· 2у.Разделим полученное неравенство на 2у2:
- < 
.Поскольку (х,у) – положительное решение уравнения Пелля, левая часть этого неравенства положительна и дробь
несократима. Поэтому, согласно теореме 3, она является подходящей дробью числа .Итак, положительные решения уравнений Пелля следует искать только среди пар, составленных из числителя и знаменателя какой-нибудь подходящей дроби числа
. Возникает вопрос, какие именно подходящие дроби соответствуют решениям уравнения Пелля. Ответ на него дает теорема, которая приводится без доказательства.Теорема 5. Пусть n – длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа
. Тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда ее номер имеет вид kn-1 (т.е. дает при делении на n остаток n-1) и нечетен.Заключение.
Приступая к исследованию, мы ставили перед собой задачу ознакомиться с уравнениями класса диофантовых уравнений и изучить способы решения линейных диофантовых уравнений и уравнений Пелля, показать примеры их применения.
Для достижения целей
- была изучена научная литература;
- были детально изучены основные термины и утверждения исследуемого раздела, а также их доказательства;
- были рассмотрены примеры.
В результате мы видим, что описанные в исследовании методы и приемы позволяют решать линейные диофантовы уравнения и находить нетривиальное решение уравнения Пелля. Причем метод цепных дробей является наиболее эффективным для отыскания решений уравнений Пелля, а в настоящее время, при возможности использовать компьютер, это является простым упражнением.
Список литературы.
1. Бугаенко В.О. Уравнения Пелля. - М.: МЦНМО, 2001. (Серия: Библиотека "Математическое просвещение". Вып. 13)