Методические указания и контрольные задания для студентов заочной и дистанционной форм обучения Авторы составители: к т. н., доцент Рудь В. В (стр. 2 из 3)

4.1. Для собственного (чистого) полупроводника

Для собственного (чистого или идеального) полупроводника равновесные концентрации электронов и дырок n_i=p_i определяются выражением

, (1)

В выражении (1) ΔW =

– ширина запрещенной зоны полупроводника,

и - «дно» зоны проводимости и «потолок» валентной зоны соответственно,

k – постоянная Больцмана, равная k=1,3805*10^-23 Дж/⁰К,

Т – абсолютная температура в градусах Кельвина (T=t + 273⁰К),

N – среднее геометрическое значение эффективных плотностей энергетических состояний в зоне проводимости

и валентной зоне , т.е. плотность разрешенных уровней энергии (которые могут занимать электроны). Их численные значения определяются выражениями

, , (2)

. (3)

В выражениях (2) и (3)

и - эффективные массы соответственно электрона и дырки, определяемые по данным табл. 2,
– масса электрона в состоянии покоя, = 9,1095*10^{-31 кг,}

h – постоянная Планка, h=6,6262*10^-34 Дж*с.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике находится в середине запрещённой зоны и определяется выражением

, (4)

В выражении (4) W_E – так называемый электростатический уровень (т.е. уровень, соответствующий середине ширины запрещённой зоны).

4.2. Для примесных полупроводников

В случае примесных полупроводников концентрации подвижных носителей зарядов n и p определяются известным соотношением концентраций подвижных носителей зарядов

. (5)

В рабочем диапазоне температур практически все атомы примеси оказываются ионизированными, поэтому с учётом того, что на практике концентрации примесей выбираются из условий N_d >>n_i , и N_a>>р_i , для концентраций основных носителей зарядов полупроводников n и p типов с весьма высокой степенью приближения соответственно выполняются условия

n_n ≈ N_d и p_p ≈ N_a .

Тогда с учётом (5) соотношения для концентраций неосновных носителей зарядов принимают вид (6)

и . (6)

Уровни Ферми в примесных полупроводниках определяются выражениями

, (7)

. (8)

В выражениях (7) и (8) W_Fn – уровень Ферми в электронном полупроводнике, W_Fp – уровень Ферми в дырочном полупроводнике, N_d – концентрация донорной примеси, N_a – концентрация акцепторной примеси.

Сравнение выражений (4), (7) и (8) показывает, что уровни Ферми собственного и примесных полупроводников неодинаковы. Иначе говоря, между ними существует следующее соотношение

W_Fn>W_Fi>W_Fp . (9)

4.3. Для электронно-дырочного (p-n) перехода

При образовании двухслойных контактов (переходов) p-i, i-n или p-n между полупроводниками, образующими их, в результате перераспределения подвижных носителей зарядов происходит выравнивание уровней Ферми, т.е. в каждом случае формируется уровень Ферми единый для всего контакта. В результате на границе раздела в контактах происходит деформация энергетических зон и образование энергетического и потенциального барьеров (контактной разности потенциалов). Их величины и знаки можно определить с учётом (4) и (7…9).

В случае электронно-дырочного перехода энергетический барьер определится в виде

. (10)

В выражении (10) W_cp и W_cn , – границы между зонами проводимости («дно» зон проводимости) и запрещённой зоной областей p и n электронно-дырочного перехода, а W_vp и W_vn – границы между валентными зонами («потолок» валентных зон) и запрещённой зоной областей p и n.

Высота потенциального барьера (контактная разность потенциалов) в идеальном электронно-дырочном переходе в состоянии равновесия и отсутствии внешнего напряжения равна

. (11)

В выражении (11) e – заряд электрона, e=1,6022*10^-19 Кл (без учёта знака).

Ширина идеального электронно-дырочного перехода в состоянии равновесия δ₀ определяется выражением (12)

, (12)

где

– абсолютная диэлектрическая проницаемость полупроводника,

ε₀ – универсальная физическая постоянная (или диэлектрическая проницаемость вакуума), равная ε₀ =0,885*10^-13 Ф/м ,

ε –относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника, определяемая из табл.2.

4.4. Для p-n перехода, смещённого внешним напряжением U

При подаче внешнего напряжения высота потенциального барьера в идеальном p-n переходе становится равной φ = φ_k – U, (обратное напряжение берется со знаком –).

В этом случае высота энергетического барьера p-n перехода станет равной (13)

(13)

Ширина идеального электронно-дырочного приобретает вид (14)

. (14)

Смещение уровня Ферми в пределах p-n перехода определится выражением (15)

. (15)

Равновесное состояние p-n перехода нарушается и через него преимущественно протекают либо диффузионные потоки основных зарядов (при U>0), либо дрейфовые потоки неосновных зарядов (при U<0).

5. Методические указания к выполнению работы

5.1. При выполнении расчётов следует учитывать, что параметры полупроводников приведены в табл. 2 для температуры Т=300⁰К. Поэтому при расчёте равновесных концентраций собственного полупроводника по формуле (1) необходимо учитывать температурные зависимости эффективных плотностей N, N_c и N_v , пользуясь выражениями (2,3,4), а также температурную зависимость ширины запрещённой зоны ΔW.

5.2. Ширину запрещённой зоны ΔW для германия при температурах выше 200⁰К можно определить по эмпирической зависимости ΔW=0,782 – 3,9·10^-4 ·Т (эВ).

5.3. Для ширины запрещённой зоны кремния при температурах выше справедливо аналогичное соотношение ΔW=1,205 – 2,84·10^-4 ·Т (эВ).

5.4. Вычисленные по п.п. 5.2 и 5.3 значения ΔW при подстановке в формулу (1) следует из эВ перевести в джоули, умножив их на заряд электрона е.

5.5. При вычислении уровней Ферми и построении энергетических диаграмм электронного и дырочного полупроводников, а также электронно-дырочного перехода необходимо в каждом случае их отсчёт производить не от уровня W=0, а от нижнего уровня зоны проводимости W_c каждой (n или p) областей полупроводника. Тогда выражения (4), (7) и (8) преобразуются соответственно к виду

, (4¹ )

, (7¹ )

. (8¹ )

5.6. При построении энергетических (зонных) диаграмм рекомендуется для всех энергетических уровней использовать единицу измерения – эВ.