Методические указания к дипломным и курсовым работам и к лабораторным работам по дисциплине (стр. 3 из 7)
Фактически большинство интерполяционных методов используют формулу (2.1) для расчета значений функций в произвольных точках. Различаются принципы, используемые для задания весовых коэффициентов wi и, соответственно, выражения для них расчета. В методе обратных расстояний используется обратно пропорциональная зависимость весовых коэффициентов от некоторой степени расстояния между расчетной точкой и точкой наблюдения (di):
, (2.4)здесь к - число, обычно принимаемое равным 1, 2 или 3.
Такой подход имеет вполне очевидный смысл - более удаленные точки в меньшей степени определяют значение в расчетной точке и наоборот.
2.4. Метод Шепарда
Метод Шепарда аналогичен методу обратных расстояний. Он также использует обратные расстояния при вычислении весовых коэффициентов. Интерполяция же осуществляется по формуле (2.3) при к=2. Отличие состоит в том, что при построении интерполяционной функции в локальных областях используется метод наименьших квадратов. Это уменьшает вероятность появления на сгенерированной поверхности ложных структур вокруг точек наблюдений.
2.5. Метод минимальной кривизны
Поверхность, построенная с помощью этого метода, аналогична тонкой упругой пластине, проходящей через все экспериментальные точки данных с минимальным числом изгибов. Он генерирует наиболее гладкую поверхность, которая проходит настолько близко к экспериментальным точкам, насколько это возможно, но экспериментальные точки не обязательно принадлежать приближающей поверхности. Окно Parameters позволяет задать критерий сходимости.
Параметр Max Residuals (Максимальная невязка) измеряется в тех же единицах, что и экспериментальные данные. Как показывает опыт, наиболее подходящее значение этого параметра равно, примерно, 10% от точности исходных данных. Если исходные экспериментальные данные измерены с точностью 1.0 единиц измерения, то значение Max Residuals рекомендуется положить равным 0.1. Итерации продолжаются до тех пор, пока максимальная невязка для всей итерации не станет меньше значения параметра Max Residuals.
Параметр Max Iterations (Максимальное число итераций) разумно выбрать в интервале от N до 2N, где N - число узлов генерируемой сети.
2.6. Метод полиномиальной регрессии
Этот метод используется для выделения трендов. Окно Surface Definition (Определение поверхности) позволяет выбрать тип полиномиальной регрессии, в левой части панели диалога отображается общая полиномиальная форма уравнения регрессии, а параметры в групповом окне Parameters принимают значения, соответствующие выбранному уравнению регрессии. В Surfer реализованы следующие типы уравнений регрессии:
- Simple planar surface (Простая плоская поверхность);
- Bi-Linear saddle (Билинейная седлообразная поверхность);
- Quadratic surface (Квадратичная поверхность);
- Cubic surface (Кубическая поверхность).
Параметр Max Total Order (Максимальная общая степень) задает максимальную сумму степеней по переменным X и Y. В математическом отношении искомая поверхность находится методом наименьших квадратов.
2.7. Триангуляция с линейной интерполяцией
Метод основан на оптимальной триангуляции Б.М. Делоне, т.е. построении сетки треугольников с вершинами в точках наблюдений. Линейная интерполяция на треугольниках, приводит к приближению искомой поверхности внутри каждой тройки фактических данных плоскостью.
Использование этого метода при небольшом числе точек замера приводит к появлению явных треугольных граней на поверхности и больших прямолинейных сегментов на карте изолиний.
Метод триангуляции эффективен, если требуется сохранить линии разрывов поверхности.
2.8. Метод ближайшего соседа
Всем ближайшим соседям присваивается определённый вес, для всех остальных точек вес равен 0. Данный метод очень простой, дает смещённую (неудовлетворительную) оценку и в результате всегда получаются дискретные величины.
2.9. Метод естественного соседа
В этом методе искомое значение в точке определяется как взвешенное среднее по значениям в ближайших точках наблюдений (F(хi,уi)):
,здесь λ(х, у) - веса, которые определяются с использованием диаграммы Вороного.
При этом точка рассматривается как новый элемент геометрии расположения данных. Для новой конфигурации определяется соответствующая диаграмма Вороного, которая отличается от первоначальной, построенной на основе только фактических данных, появлением дополнительной ячейки. Ячейка новой точки (заполненная штриховкой на рис. 2.3) покрывает некоторые части ячеек первоначально принадлежавших некоторым точкам наблюдений.
Именно эти точки вовлекаются в интерполяцию для новой точки. Таким образом метод автоматически выделяет из всех точек фактических данных те, которые должны использоваться при интерполяции. Эти точки называются естественными соседями. Используемые в расчетах веса определяются как доля площади, которые новая ячейка заимствует у первоначальных ячеек, принадлежащих естественным соседям.
Рис. 2.3. Метод естественного соседа
2. 10. Сравнительная характеристика основных методов
построения сеточной функции
В основном для построения геологических моделей самым эффективным является метод Криге (Kriging) с линейной (Linear) вариаграммой. Второй по распространенности метод - это метод радиальных базисных функций (Radial Basis Functions) с мультиквадратичной (Multiquadratic) базисной функцией.
В таблице 2.1 приведена краткая характеристика основных методов построения сеточной функции с указанием их основных достоинств и недостатков.
Таблица 2.1
Характеристика основных методов построения сеточной функции
| Название метода | Отличительные особенности | |
| 1 | Метод обратных расстояний | Является достаточно быстрым, но имеет тенденцию генерировать структуры вокруг точек наблюдений с высокими значениями функции. |
| 2 | Метод Крайгинга | Наиболее гибкий и часто используемый, задается по умолчанию. На множествах большого размера он работает достаточно медленно. |
| 3 | Метод минимума кривизны | Генерирует гладкие поверхности и для большинства множеств экспериментальных данных работает достаточно быстро. |
| 4 | Метод полиномиальной регрессии | Используется для выделения больших трендов и структур. Работает очень быстро для множеств любого размера, но не является точным интерполяционным методом, поскольку сгенерированная поверхность не проходит через экспериментальные точки. |
| 5 | Метод радиальных базисных функций | Так же, как и метод Крайгинга, является очень гибким и генерирует гладкую поверхность, проходящую через экспериментальные точки. |
| 6 | Метод Шепарда | Подобен методу обратных расстояний, но как правило, не генерирует структуры типа "бычий глаз", особенно когда задан сглаживающий параметр. |
| 7 | Метод триангуляции с линейной интерполяцией | Генерирует явные треугольные грани на графике поверхности. Работает быстро если количество значений от 250 до 1000. |
3. ИНСТРУКЦИЯ К ПАКЕТУ SURFER
3.1. Режимы пакета Surfer
Пакет Surfer работает в двух режимах: Plot Document и Worksheet. Режим Worksheet позволяет вводить, редактировать и делать различные арифметические преобразования над исходными данными, а режим Plot Document – получать сеточные цифровые модели геологических полей, визуализировать их и выполнять различные преобразования цифровых моделей. После запуска программы Surfer по команде File/New в окне New предоставляется возможность выбора одного из двух режимов. В процессе работы Surfer можно открыть несколько окон в обоих режимах, что позволяет быстро переходить из Worksheet в Plot Document и наоборот.
Исходные данные для построения цифровой геологической модели должны быть записаны в виде столбцов, причем наименьшее допустимое число столбцов равно трём, это столбцы координат X и Y и столбец замеров Z. На практике файл с исходными данными содержит, как правило, не менее четырех столбцов. Четвёртый столбец содержит наименования скважин. Отметим, что Surfer может работать с файлами, в которых число столбцов может быть значительно больше четырех. Первая строка каждого столбца должна содержать текстовую информацию, которая в сокращённом виде отображает содержимое столбца.
По умолчанию столбец А Surfer интерпретирует как координату X, столбец В – как координату Y и столбец С – как геологический интерполируемый параметр Z.
В случае нарушения такого содержания столбцов А, В и С при построении цифровой модели пользователю надо обязательно указать в каких столбцах записаны X, Y и Z.
3.2. Объекты пакета Surfer
Surfer представляет ряд способов хранения, отображения и представления данных. Компоненты, которые используются для хранения и предоставления данных, далее называются объектами. В пакете Surfer существуют следующие объекты: таблицы с исходными данными (*.dat, *.xls), цифровые модели (*.grd), карты в изолиниях (*.srf) и контуры (*.bln). Рассмотрим их по порядку:
1. *.dat – таблица с данными, создается в режиме Worksheet, рабочее поле Worksheet аналогично рабочему полю в Excel;