Методические указания к дипломным и курсовым работам и к лабораторным работам по дисциплине (стр. 2 из 7)

Исходя из этого в пакете Surfer, как и во многих других современных пакетах геологического моделирования, используют методы локальной интерполяции (ЛИ). В методах ЛИ при вычислении каждого интерполирующего значения используется не вся выборка, а только замеры, расположенные в некоторой окрестности, радиус которой обозначим R. В методах ЛИ точность интерполяции сильно зависит от значения R. Ясно, что величина R должна определятся радиусом корреляции случайного параметра Z. Но на практике радиус корреляции не известен.

Почти все методы интерполяции пакета Surfer имеют параметры, задание которых позволяет осуществлять ЛИ. Например, метод радиальных базисных функций и метод Kriging.

Наиболее обоснованно значение R можно задавать в методе Kriging, в котором предусмотрено построение вариограмм по областям различной геометрии и размера.

Следует иметь в виду, что любая геологическая модель, как впрочем и всякая модель, является приближенным описанием изучаемого объекта. Одним из видов погрешностей, осложняющих модель, являются ошибки алгоритма. Поэтому процесс построения модели не может заканчиваться построением карты, а должен быть продолжен анализом модели, в частности, выявлением и устранением алгоритмических ошибок.

2. Методы построения сеточных моделей

Методы построения сеточных функций, реализованные в пакете Surfer, можно разбить на два класса: интерполирующие и сглаживающие. Некоторые интерполирующие могут включать сглаживающий параметр. Если его значение не равно нулю, интерполятор становится сглаживающим.

В пакете Surfer интерполяторами являются:

- Метод обратных расстояний (Inverse Distance to a Power), если не задан сглаживающий параметр;

- Метод Криге (Kriging), если не задан параметр Nugget Effect;

- Метод радиальных базисных функций (Radial Basis Functions), если не задан параметр RI;

- Метод Шепарда (Shepard’s method), если не задан сглаживающий параметр;

- Триангуляция с линейной интерполяцией (Triangulation with linear Interpolation).

Все остальные методы построения сеточных моделей являются сглаживающими. Они используются в тех случаях, когда экспериментальные данные измерены в узлах сетки не точно, а с некоторой погрешностью. Сглаживающие методы не присваивают весов равных единице, даже тем значениям, которые совпадают с узлами сетки.

В пакете Surfer сглаживающими методами являются:

- Метод обратных расстояний (Inverse Distance to a Power), если задан сглаживающий параметр;

- Метод Kriging, если задан параметр Nugget Effect;

- Метод минимальной кривизны (Minimum Curvature);

- Метод полиномиальной регрессии (Polynomial Regression);

- Метод Radial Basis Functions, если задан параметр RI;

- Метод Shepard's Method, если задан сглаживающий параметр.

При построении карт часто возможен «краевой эффект», т. е. значения сеточных функций могут выходить за пределы интервала исходных данных, это происходит в тех областях карты, где значений нет, или они находятся на большом расстоянии друг от друга, например вдоль края карты.

Появление «краевого эффекта» во многом зависит от выбора метода построения сеточной модели. Метод Inverse Distance to a Power не может получить значения, выходящие за пределы интервала исходных данных. Методы, рассчитывающие тренды, могут получать значения Z-координат вне диапазона исходных данных.

2.1. Метод Крайгинга

Рассмотрим один из наиболее широко применяемых в настоящее время при построении геологических карт метод Крайгинга. Сразу отметим, что этот метод вполне обоснованно отнесен к геостатическим. Он представляет собой метод локальной интерполяции (ЛИ), согласно которому значение Z(p) вычисляется как средне-взвешенное известных значений z_i в ближайших скважинах:

(2.1)

Весовые коэффициенты определяются из эмпирической полувариограммы, которая вычисляется по формуле:

. (2.2)

В этих обозначениях Z_i — значение поля геологического параметра, взятое в точке i; Z_i+h — другое значение, взятое через интервал h. Другими словами, найдена сумма квадратов разностей между значениями поля геологического параметра в паре точек, разделенных расстоянием h. Число точек равно п, так что число сравнений между парами точек есть п—h.

Если вычислить полудисперсии для различных значений h, то можно нанести результаты на график в виде полувариограммы. Когда расстояние h между точками змерения равно нулю, то значение в каждой точке сравнивается с самим собой. Следовательно, все разности равны нулю, и полудисперсия для g_о есть нуль. Если h - малое расстояние, точки при сравнении оказываются очень похожими, и полудисперсия будет мала. По мере увеличения расстояния h сравниваемые точки становятся слабее связанными друг с другом и расстояния между ними увеличиваются, что приводит к большим значениям g_h. Предположим, что на некотором расстоянии сравниваемые точки находятся так далеко, что они не связаны друг с другом, и их квадраты разностей будут равны по величине дисперсии относительного среднего значения. Полудисперсия более не растет и полувариограмма переходит в плоскую область, называемую порогом (Р) картируемого параметра. Расстояние, на котором полудисперсия приближается к дисперсии называется рангом или размахом (R) геологического параметра. Оно определяет окрестность, в пределах которой все значения Z_i статистически связаны друг с другом.

Для некоторой произвольной точки можно представить себе окрестность как симметричный интервал (или площадь, или объем, в зависимости от размерности) вокруг точки. Если регионализованная переменная стационарна или всюду имеет одно и тоже среднее значение, то любое положение вне этого интервала совершенно независимо от центральной точки и не может давать информацию вокруг значения поля геологического параметра в этой точке. В пределах этой окрестности, однако, поле геологического параметра во всех наблюдаемых точках связано с полем геологического параметра в центральной точке и, следовательно, может быть использовано для оценки ее значения. Если использовать множество измерений, сделанных в точках внутри этой окрестности для оценки значения поля геологического параметра в центральной точке, то полувариограмма обеспечит собственные веса, которые должны быть приписаны каждому измерению. Одна из возможных схем отбора точек для вычисления g_h (2.2) показана на рис. 2.1.

В принципе экспериментальная полувариограмма может быть прямо использована для получения оценок. Однако, полувариограмма известна только в дискретном наборе точек, расположенных на расстоянии h. На практике полувариограммы могут потребоваться для любых расстояний независимо от того, является ли оно кратным h или нет. По этой причине дискретная экспериментальная полувариограмма должна быть приближена некоторой непрерывной функцией, которая может быть вычислена для любого желаемого расстояния.

Рис. 2.1. Схема геометрических элементов полувариограммы

для формирования пар точек

Рис. 2.2. Модели полувариограммы

Некоторые модельные полувариограммы даны на рис. 2.2. Приведённые полувариограммы обладают следующими свойствами:

а) параболическая форма, показывающая отличную коррелированность геологической переменной;

б) линейная форма, показывающая умеренную коррелированность;

в) горизонтальная форма, соответствующая случайной переменной, не имеющей пространственной автокорреляции;

г) явное отклонение от начала координат, показывающее, что переменная сильно изменчива при расстояниях, меньше, чем интервал опробования.

Отметим, что описанный способ вычисления весов w_i обладает еще одним хорошим свойством: он доставляет минимум дисперсии среднего значения.

2.2. Метод радиальных базисных функций

В этом методе искомая функция находится как линейная комбинация набора радиальных базисных функций:

, (2.3)

где а -константа, i - индекс точки измерений, m_i - неизвестные коэффициенты, R_i(x,y) - базисные функции, зависящие от расстояния точки (х, у) до i-ой точки наблюдения.

Существуют несколько типов базисных функций:

- Inverse Multiquadric

- Multilog

- Мультиквадратичная (Multiquadric)

, наиболее часто используется;

- Natural Cubic Spline

- Thin Plate Spline

,

где R² – фактор сглаживания, чем больше будет параметр, тем более сглаженные будут контура. Разумные значения показателя находятся в интервале от среднего межточечного расстояния выборки до половины этого среднего значения.

2.3. Метод обратных расстояний