Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений механико-математического факультета (стр. 1 из 6)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ростовский государственный университет"
Методические указания
для студентов дневного и вечернего отделений
механико-математического факультета
ЗАДАЧИ К КУРСУ
“МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Ростов - на – Дону
2006
Печатается в соответствии с решением кафедры прикладной математики и программирования механико-математического факультета РГУ, протокол № 6 от "16" февраля 2006 г.
Аннотация
Методические указания предназначены для студентов старших курсов, специализирующихся на математическом моделировании поведения сложных динамических систем. В настоящих методических указаниях приведены примеры использования различных качественных методов исследования устойчивости динамических систем и их асимптотического анализа. В конец каждого параграфа вынесены индивидуальные задания для студентов.
Автор: А.Б. Усов
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Основные понятия математического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Методы исследования устойчивости динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений
равновесия по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.3 Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Метод пограничного слоя и его применение для исследования
модели, описываемой уравнением второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1 Первый итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
3.2 Второй итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Введение
Предлагаемые методические указания являются дополнением опубликованных ранее по курсу “Моделирование динамических систем” методических указаний [1-3]. В [1] подробно изложены теоретические вопросы, связанные с составлением и исследованием дифференциальных моделей конкретных физических и социальных процессов, приведены основные теоремы Ляпунова, используемые при исследовании устойчивости равновесий динамических систем, в [2] – приведены асимптотические методы исследования динамических систем в случаях регулярного и сингулярного вырождений, подробно изложены теоретические основы метода пограничного слоя, в [3] – уделено больше внимания отдельным теоретическим вопросам, вскользь затронутым в [1,2]. Предлагаемые методические указания посвящены практическим вопросам исследования устойчивости динамических систем и вопросам асимптотического анализа таких систем при наличии малого параметра при старшей производной, в ней приведено большое количество примеров, иллюстрирующих применение изложенных в [1-3] теорем. В начале каждого параграфа приведены необходимые для проведения исследования теоретические положения, в конец вынесены индивидуальные задания, решение которых поможет лучше овладеть рассматриваемыми вопросами.
1 Основные понятия математического моделирования
Исследование любого объекта математическими методами может быть начато лишь с того момента, когда получено описание его существенных свойств на языке математических соотношений, то есть, описана его математическая модель.
Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя в себе некоторые важные для данного исследования типичные его черты.
В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.
Схема вычислительного эксперимента состоит в следующем.
Исследование объекта начинается с установления основных законов управления объектом и построения соответствующей математической модели, которая обычно представляет запись этих законов в форме системы уравнений. При выборе математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. На этом этапе требуется привлечение ЭВМ и как следствие развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. После написания и отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.
К сожалению, построить решение дифференциальной модели в явном виде удается очень редко, поэтому особое значение приобретают качественные приемы исследования дифференциальных моделей, приемы, которые позволяют, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Вопросам практического применения таких методов и посвящены следующие параграфы работы.
2 Методы исследования устойчивости динамических систем
За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым эта теория нашла широкое применение в различных областях науки и техники. Начало современной теории устойчивости положил трактат А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения." (1892г.). Дальнейшее развитие идеи Ляпунова получили в работах русских ученых Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, М.Г. Крейн, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, Н.Н. Боголюбова, Б.П. Демидовича и многих других, в том числе ростовских ученых И.И. Воровича и В.И. Юдовича. При написании этой главы использовались работы Н.Г. Четаева [6], И.Г. Малкина [5], Б.П. Демидовича [4] и В.И. Юдовича [7]. Ниже приведены примеры использования различных метод Ляпунова.
В этой главе изучаются векторные дифференциальные уравнения вида
рассматриваемые в конечномерном пространстве Rn или в банаховом пространстве X. Будем предполагать, что f(x,t) є C0,1t,y, то есть вектор функция f(x,t) в рассматриваемой области непрерывна по t и непрерывно дифференцируема по x и, следовательно, выполнены условия теоремы Коши существования и единственности решений задачи Коши: для каждой пары значений (t0,x0) существует единственное решение уравнения (1) y=y(t), определенное в некотором интервале t є (t0-a, t0+b); a,b>0 и удовлетворяющее начальному условию y(t0)= y0. Если b=∞, то говорят, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо вправо.
2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений равновесия по Ляпунову
Определение. Решение x0(t) t>0 дифференциального уравнения (1) назовем устойчивым по Ляпунову, если выполнено два условия:
1) Все решения дифференциального уравнения (1), которые мало отличаются от x0 в начальный момент времени, определены для всех t>0, т.е. существует число δ0 >0 такое, что если выполнено неравенство
|| x0(0) - x(0) || < δ0
то решение x(t) уравнения (1) определено для всех t>0;
2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства
|| x0(0) - x(0) || < δ0
следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство
|| x0(t) - x(t) || < ε
Определение. Решение назовем неустойчивым по Ляпунову, если нарушено хотя бы одно из требований предыдущего определения.
Разность x0(0) - x(0) назовем начальным возмущением, x0(t) - невозмущенным (основным) решением, x(t) – возмущенным решением, x0(t) - x(t) = y(t) - возмущением в момент времени t.
Вместо того, чтобы исследовать на устойчивость некоторое решение x0(t) дифференциального уравнения (1), удобно перейти к исследованию на устойчивость нулевого равновесия уравнения возмущений которое имеет вид
Очевидно, что если x0(t) есть решение уравнения (1), то y0=0 есть решение уравнения (2). Сформулируем определение устойчивости тривиального решения уравнения (2).
Определение. Тривиальное решение уравнения (2) назовем устойчивым по
Ляпунову, если:
1) существует число δ0 >0 такое, что если выполнено неравенство
|| y0(0) || < δ0
то решение y(t) уравнения (2) определено для всех t>0;
2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства
|| y0(0)|| < δ0
следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство
|| y0(t)|| < ε
Определение. Основное решение уравнения (1) или, что то же самое тривиальное решение уравнения возмущений (2), назовем асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и возмущения затухают с течением времени, то есть ||x(t)|| → 0 при t → ∞.
Рассмотрим несколько примеров исследования устойчивости, исходя из определений.
Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
Общее решение уравнения (3) имеет вид