Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений механико-математического факультета (стр. 4 из 6)

Исследуем на устойчивость нулевое равновесие уравнения (17) (очевидно, что оно существует). Найдем полную энергию системы (то есть интеграл системы (17)) и возьмем ее в качестве искомой функции Ляпунова второго рода

Производная функции E в силу дифференциального уравнения (17) имеет вид

Проверить самостоятельно, что функция E является функцией Ляпунова первого рода и, следовательно, нулевое равновесие уравнения (17) устойчиво по Ляпунову.

Попробуем построить функцию Ляпунова второго рода, то есть доказать асимптотическую устойчивость нулевого равновесия уравнения (17). Функцию Ляпунова второго рода будем разыскивать в виде

Здесь α₁, α₂ - произвольные постоянные, подлежащие определению.

Потребуем, чтобы функция (18) удовлетворяла всем требованиям второй теоремы Ляпунова. Из этих требований получим систему неравенств, из которой определяются постоянные α₁, α₂. Если удастся найти хотя бы один набор этих постоянных, позволяющий удовлетворить условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, то нулевое равновесие уравнения (18) будет асимптотически устойчиво, в противном случае надо разыскивать функцию Ляпунова в другом виде.

Проверить самостоятельно, что в данном случае нулевое равновесие асимптотически устойчиво и постоянные α₁, α₂, например, определяются равенствами

α₁= h/2; α₂=h²/2

Для проверки воспользуйтесь критерием Сильвестра. Выпишите соответствующие определители и найдите одно из решений возникающих неравенств. Постоянные α₁ и α₂ определяются неединственным образом.

Упражнения для самостоятельной работы

Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия систем

- Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия следующих систем в зависимости от вещественного параметра k

3 Метод пограничного слоя и его применение для исследования

модели, описываемой уравнением второго порядка

Метод пограничного слоя является асимптотическим методом, который применяется в случае сингулярного вырождения для исследования как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных. Изучим метод пограничного слоя на примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

рассматриваемого с условиями

u(0)=0; u(1)=0 (20)

Предположим, что функции b(x), c(x), d(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы. Подробно опишем процедуру метода пограничного слоя [8], состоящую из первого и второго итерационных процессов.

3.1 Первый итерационный процесс

Пусть выполняется условие

c(x) ≠ 0; x є [0,1]

Тогда решение задачи (19),(20) ищется в виде ряда Тейлора по степеням малого параметра ε

Подставим разложение (21) в уравнение (19). Группируя члены при одинаковых степенях ε и приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях, получим уравнения

. . .

из которых последовательно находятся функции u₀, u₁, . . .

(22)

. . .

Функции b(x), c(x), d(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы, поэтому формулы (22) имеют смысл. Таким образом, разыскивая решение задачи (19),(20) в виде ряда (21), удается удовлетворить уравнение (19) с любой степенью точности. Если бы оказались удовлетворены оба граничных условия (20), то ряд (21) являлся бы решением задачи (19),(20), то есть, если бы

f(0) = f(1) = 0,

то решение задачи (19),(20) было бы построено в виде ряда (21). Если же хотя бы одно из граничных условий (20) не выполняется, то ряд (21) не может служить хорошим приближением к решению задачи, по крайней мере, вблизи того конца отрезка, на котором не выполняется граничное условие (20). Решение везде внутри отрезка (x є [0,1]) близко к решению вырожденной задачи (задачи при ε=0), а вблизи концов отрезка претерпевает резкие изменения, описываемые функциями пограничного слоя, которые строятся в ходе второго итерационного процесса.

3.2 Второй итерационный процесс

Построим пограничный слой вначале вблизи левого конца отрезка. Решение задачи (19),(20) разыскивается в виде ряда

где u_i (i = 0, 1, 2, ...) - функции первого итерационного процесса, определяемые формулами (22); v_k (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя), подлежащие определению.

Подставим ряд (23) в (19) и учтем результаты первого итерационного процесса (формулы (22), по которым мы определили функции первого итерационного процесса). Ограничиваясь конечным отрезком ряда (23), получим уравнение

Выполним основную процедуру метода пограничного слоя - растяжение пограничного слоя, то есть сделаем замену переменных

x =ε t ; x € [0,1]; t € [0,∞)

В результате замены мы растянули отрезок x € [0,1], благодаря чему можно описать резкие изменения функции u, которые она претерпевает вблизи левого конца отрезка. Функции пограничного слоя зависят от растянутой переменной t.

При рассмотрении левого конца отрезка все функции, зависящие от переменной x в уравнении (24), разложим в ряды Тейлора по x в окрестности точки x=0, а затем в этих разложениях перейдем от переменной x к переменной t. В результате получим

Перейдем в (24) от производных по переменной x у функций пограничного слоя к производным по переменной t, используя формулы

Подставим разложения (25) в уравнение (24), и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения

. . .