Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 8 из 18)

на интервале t_О £ t £ t_К, t_К - конец интервала.

Условия существования и единственности решения поставленной задачи Коши будем считать выполненными.

При решении численными (конечно-разностными) методами искомая функция ищется в отдельных точках интервала [t_О, t_К], t₀,t₁,…,t_n, …,t_N называемых узлами, в виде таблицы значений X₀,X₁,…,X_n,…,X_N, приближенно равных значениям X(t₁),X(t₂),…,X(t_n),…,X(t_N) точного решения X(t). Расстояние между узлами h=Dt=t_n+1-t_n называется шагом интегрировании и может быть задано либо перед началом вычислений (интегрирование с постоянным шагом), либо определяться в процессе вычислений (интегрирование с автоматическим выбором шага).

Большинство численных методов решения рассматриваемой задачи Коши можно представить в виде [l,2,4.5,Д4]

X_n+1=F(X_n-q, X_n-q+1,…,X_n,X_n+1,…, X_n+s) (50)

где F - некоторая известная функция указанных аргументов, определяемая способом построения метода и зависящая от вида интегрируемого уравнения и избранной сетки

t_О < t₁ <….. <t_N=T

При q=0, 0 £ s £ 1 такие вычислительные алгоритмы обычно называют одношаговыми, а при q ³ 1 или s ³ 1 - многошаговыми. Как одношаговые, так и многошаговые метода вида (50) называют явными в случае s=0 и неявными при s=1. В случае s=1 многошаговые алгоритмы называют методами с забеганием вперед. Многошаговые методы требуют применения специальных вычислительных алгоритмов для нахождения первых q- значений X₁,X₂,..,X_q

приближенного решения и последних его s-1 значений X_N-S+2,X _N-S+3,…,X_N.

Ввиду приближенного характера решения на каждом шаге численного интегрирования возникает, так называемая, локальная ошибка:

e_к =|| X_К, X(t_К)||

между точным и получаемым решением. Локальная ошибка состоит всегда из двух компонент:

1) ошибки метода (-или отбрасывания) -e_мк

2) ошибки округления e_rк

Первая зависит от вида численного алгоритма, используемого при вычислении X_К, а вторая - обусловлена конечной длиной машинного слова при реализации алгоритма на ЭВМ. Как ошибка метода, так и ошибка округления накапливаются с увеличением числа шагов. Некоторые методы (численно неустойчивые) способствуют усилению локальной ошибки метода и ошибки округления на каждом шаге так, что через некоторое время возросшая ошибка может преобладать над самим решением. Устойчивость же метода гарантирует, что локальные ошибки не усиливаются, а остаются ограниченными для достаточно малой величит шага h при h®¥ . Методы имеют разную область устойчивости и, соответственно, разную величину максимально-возможного шага интегрирования. На результат решения влияет также точность задания начальных условий. На практике для расчетов имеет смысл применять сходящиеся методы. Метод считается сходящимся в том случае, когда для решения задачи Коши, имеющей единственное решение X(t), вычисленное решение X(t_К) при действии указанных факторов, однозначно сходится к X(t) на интервале t_О £ t £ T при t®¥ и h=T/n .

Самыми простыми из методов численного интегрирования являются явный и неявный методы Эйлера. Они являются первыми в ряду как одношаговых, так и многошаговых методов. Согласно явному методу Эйлера решение определяется по формуле

X_n+1= X_n + h•¦(X_n, t_n ) + r_n+1 (51)

где

X_n+1=X(t_n+h), t_n= t_o+n•h,

r_n+1- ошибка метода (или ошибка отбрасывания),

r_n+1=(h²/2)•¦''(t_n+Q•h, X_n) 0 < Q < 1 (52)

или выраженная через конечные разности и значения X_i

r_n+1=(h²/2)•(D²•X_n)/h²= (X_n+1-2•X_n+X_n-1)/2 (53)

Показатель при h (в нашем случае два) характеризует порядок точности метода.

Геометрически метод Эйлера означает замену интегральной кривой, представляющей точное решение X(t), кусочно-ломаной линией, участки которой параллельны касательной к X(t) в узлах t_n. Поэтому метод Эйлера называют иначе методом ломаных или касательных.

Если ошибка задана, т.е. r_n+1= e то шаг интегрирования может быть выбран исходя из ошибки метода

h £ [2•e/(•¦''(t_n,X_n))]^0.5 (54)

Значительно большие ограничения на шаг интегрирования явного метода Эйлера налагаются из условий устойчивого поведения в процессе вычислений [2,6]. Так при интегрировании устойчивой системы линейных дифференциальных уравнений (50), имеющей, например, р различных действительных отрицательных собственных чисел матрицы А=|l₁,l₂,…,l_p|^tрешение стремится к нулю, т.е. Lim_n®¥X_n=0 только при выполнении условия

|1+h•l_i|^t <1, i=1,2,……,p

Учитывая, что l_i, получаем верхнюю границу для величины шага интегрирования

h < 2/l_МАКС (55)

где l_МАКС = _МAX[|l₁|,|l₂|,|l₃|,….,|l_p1|,]

Известно, что постоянные времени линейной схемы, описываемой системой (50), связаны с собственными значениями |А| следующим образом: t=-1/l_i.

Поэтому h < 2•t_МИН, где t_МИН =_МIN[|t₁|,|t₂|,|t₃|,….,|t_p1|,] Если в системе уравнений имеется большой разброс собственных значений l_i. (говорят, жесткая система) или в схеме большой разброс постоянных времени, то приходится интегрировать с малым шагом даже на участке, где решение изменяется медленно (большое t). Любая попытка увеличения шага незамедлительно приводит к резкому возрастанию погрешности ("взрыву" погрешности).

Неявный метод Эйлера X_n+1= X_n + h•¦(X_n+1, t_n+1 ) (56)

имеет ошибку метода r_n+1= -0.5•h²•¦''(X_n, t_n), (57)

но в отличие от явного метода Эйлера, его свойства устойчивости не накладывают каких-либо ограничений на шаг h . Действительно, из условия устойчивости

1/|1-h•l_i| < 1

и т.к. l_i<0, то приближенное решение устойчиво для всех h>0. Шаг интегрирования может быть выбран, основываясь только на соображениях точности, т.е. по формуле (57). Применение неявного метода Эйлера для решения жестких систем уравнений (с большим разбросом постоянных времени) позволяет получить выигрыш в числе шагов h и тем больший, чем больше разброс постоянных времени. Однако использование (56) связано с решением на каждом шаге интегрирования системы нелинейных уравнений для нахождения вектора X_n+1, если ¦(X_n) - нелинейно.

Применение (56) для интегрирования (49) приводит к решению на каждом шаге системы

|1/h - A |•X_n+1=(1/h)•X_n+1 + B•u(t _n+1) (58)

а для решения (45) - системы линейных уравнений

|A_j/h - A_Gj |• j_n+1= (A_j/h)• j_n + A_u•u(t _n+1) (59)

При явном, методе Эйлера получаем, соответственно системы

X_n+1=|1+h•A |•X_n + h•B•u(t _n1) (60)

(A_j/h)• j_n+1=|A_j/h + A_Gj |• j_n + A_u•u(t _n) (61)

Решение линейных систем может быть произведено методом Гаусса, либо другим методом решения систем алгебраических уравнений. Следует отметить, что при интегрировании жестких систем, в линейных уравнениях могут возникать плохообусловленные матрицы, что предъявляет дополнительные требования к методам решения линейных систем и ограничивает шаг h

Методы Эйлера, как правило, при анализе динамического режима сложных электронных схем не всегда обеспечивают необходимую точность и эффективность решения. Поэтому применяют методы более сложные, большего порядка точности и в случае решения жестких систем, а таковыми в большинстве случаев являются математические модели электронных схем - жестко-устойчивые:

метод Шихмана,

метод Гира,

ФДН,

неявные методы Рунге-Кутта [1,2,5].

В случае колебательного характера решения предпочтение отдается методу трапеций и неявным методам Рунге-Кутта.

Имея решение (58)-(61) и уравнения (13),(23)-(24)

или (49) можно определить почти все токи и напряжения в анализируемой схеме и необходимые качественные показатели; коэффициенты передачи, входные и выходные сопротивления и прочее.

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКОГО РЕЖИМА ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ.

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ.

Математические модели для динамического нелинейного режима, детально рассмотренные в разделе "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ. ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ." (9), (13), (14), (23)-(25), можно представить (10) и (26) в двух характерных обобщенных формах