Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 5 из 18)

|А_Е|•|i_Е|+|А_R|•|G|•|А^t_R|•|j|+|А_H|•¦(|А^t_H|•|j|)+|А_Д|•a•¦_Н(|А^t_Д|•|j|) = 0 (27)

|u|=|А|^t•|j|, |u|=|u_Е , u_R, u_H, u_Д, u_СЛ, u_СН |^t(28)

R1
iRi= G•u Ri	G=1/R	…
R=	RБ
	…
R7

Iн=¦_Н(u_Н), Iн=| Iк , Iэ |^t,

Iэ=a•Iн, Iд=| Iдк , Iдэ |^t, a=|^an _ai| (29)

Сокращенно уравнения (27) представляются в форме (см. (10))

¦л( Xл, Xн)=0 (30)

¦н( Xл, Xн)=0

где -¦л - линейный оператор; ¦н - нелинейный оператор.

Xл, Xн - независимые переменные, соответственно, линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Из соотношений (25), (23), (24) с учетом i_С=0 и u_вх(t_o)=Е получим математическую модель электронных схем ММС-Ст2

EB	EB
pCRX•GХ•ptRX•	uC	+pCIH•IH•(ptIX•	uC	)+pCIД•a•IH =0
uRB	uRB

i_ЕВ= p_ЕВRX•G_Х•u_RX + p_ЕВI•I_Х I_Х=| Iн , Iд |^t, (31)

i_RВ= p_ЕВRX•G_Х•u_RX + p_RВI•I_Х u_RX=R_В•i_RВ,

uRX	ptRX	EB
=	•	uC
uIX	ptIX	uRB

Сокращенно ММС-Ст2 имеет вид уравнении (30).

Если линейные уравнения рассматривать как частный случая нелинейных уравнений, то все ММС-Ст и уравнение (30) можно представить как одно операторное уравнение

¦( X)=0 (32)

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ.

Вообще существует два основных подхода при решении задачи расчета статического режима.

Первый основан на представлении статического режима, к которому стремятся при t®¥ переходные процессы в схеме при подключении к ней источников питания и входного источника (его постоянной составляющей). При этом используются динамическая математическая модель схемы и методы численного интегрирования для ее решения. Второй подход основан на решении алгебро-трансдендентных нелинейных уравнений с применением итерационных, проекционных методов, методов спуска и продолжения решения по параметру, комбинированных методов [1,2,4,5] .

Наибольшее распространение при машинном проектировании электронных схем нашел метод Ньютона и его модификации. Пусть задана система нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений вида (32) и известно, что в некоторой области G переменных (X₁, Х₂,..., Х_n) существует единственное решение (X^*₁, Х^*₂,..., Х^*_n). Метод Ньютона заключается в том, что по начальному приближению переменных (X⁰₁,Х⁰₂,...,Х⁰_n) находится следующее приближение по формулам :

X_i¹=Х_i⁰ -|W(Х_i⁰)|^-1•¦( Х_i⁰) i=1,…n

или

W(Х_i⁰)•DХ_i⁰= -¦(Х_i⁰), Х_i¹= Х_i⁰+DХ_i⁰,

где

¦(Х_i⁰), - значение левой части системы (32) при Х_i⁰, называется вектором невязок,

W(Х_i⁰)=d¦(Х_i⁰)/dХ_i⁰ - матрица Якоби (якобиан) системы (32),

DХ_i⁰- вектор поправок.

По полученным значениям вычисляется

W(Х_i¹)•DХ₁¹= -¦(Х_i¹), i=1,…,n

Х_i²= Х_i¹+DХ_i¹, и т.д.

Если найдено k-е приближение, то (k+1)-e приближение находится по формуле

W(Х_i^k)•DХ₁^k= -¦(Х_i^k), (33)

Х_i^k+1= Х_i^k+DХ_i^k

Если Lim(Х_i^k)_k®¥ для i=1,…,n . т.е. Х_i^k®¥ (погрешность), то говорят, что метод Ньютона сходится к решению.

Как видно из (33) на каждой итерации процесса приближения к решению требуется вычислять значение вектора невязок ¦(Х_i^k) , Якобиана W=d¦(Х_i^k)/dХ_i^k, решать систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок DХ_i^k и находить следующее приближение Х_i^k+1 через Х_i^k и DХ_i^k по формуле суммирования векторов.

Приближенное решение Х_i^k+1= Х_i^* желательно получить с наперед заданной точностью e. На практике достигнутую в процессе итераций точность оценивают по норде вектора поправок DХ_i^k или по норме вектора невязок [¦(Х_i^k)] . Очевидно, что при Х_i^k+1®Х_i^* имеем [DХ_i^k]®0 и [¦(Х_i^k)]®0. Отсюда следует, что вычисления следует прекращать, если [DХ_i^k ] < e или [¦(Х_i^k)] < e. Под номой вектора DХ_i^k или ¦(Х_i^k) может пониматься либо евклидова норма е - норма

n

[DХ_i^k] =( S (DХ_i^k)²)^0.5

i=1

либо S - норма

n

[DХ_i^k] = S |DХ_i^k|

i=1

либо равномерная норма ( m - норма)

[DХ_i^k] = max |DХ_i^k|

1 £ i £ n

Скорость сходимости метода Ньютона квадратична

DХ_i^k+1 £ k•( Х_i^k)²

где k - константа.

Если ошибка DХ_i^k мала, например DХ_i << 1, то последующая ошибка будет уменьшаться до увеличенного в k - раз квадрата предыдущей ошибки. После каждой итерации наблюдается удвоение количества правильных десятичных знаков в результате. Для сходимости процесса Ньютона к решению Х^* необходимо, чтобы:

а) начальное приближение Х⁰ было близко задано к корням Х^* ;

б) вектор функция ¦(Х) должна быть определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой области;

в) матрица Якоби W(Х) должна иметь обратную ограниченную матрицу;

г) матрица вторых частных производных функции ¦(Х) также должна быть ограничена. Эти условия математически сложны для априорного определения факта сходимости и скорости сходимости. Поэтому мы не приводим их строгой математической формулировки, а поясним на конкретных примерах как они влияют на процесс сходимости и результат решения.

ПРИМЕР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ.

Рассмотрим простейшую математическую модель цепи (рис.6) с диодом для статического режима

Рис.6

-E+Uд+R•Iо•(e^{Uд / jт}-1)=¦(Uд)=0 (34)

где- Iо, j_Т - параметры модели диода для статического режима;

E, R - параметры цепи.

Якобиан уравнения (34) будет равен:

W(Uд)=d¦(Uд)/dUд =1+(1/j_Т) •R•Iо•e^{Uд / jт} (35)

Итерационная формула Ньютона (см. (33)) с учетом (34) и (35) примет вид

U^кд/j_Т U^кд/j_Т

[ 1+(1/j_Т) •R•Iо•e ] •DU^kд = E-U^кд -R•Iо•(e -1) (36)

U^к+1_д = U^к_д+DU^к_д

На рис.7 показана геометрическая интерпретация процесса решения по итерационной формуле (36).

Рис. 7

Процесс решения начинается с начального приближения U⁰_Д и заканчивается в близкой окрестности корня U^*_Д . Видно, что выбор начального приближения U⁰_Д справа от корня приводит к окончанию итерационного процесса в поиску решения за 3-4 итерации. Наклон касательной в точке, например, [U⁰_Д, ¦(U⁰_Д)] определяется W(U⁰_Д), а приращение между итерациями DU⁰_Д - значением якобиана и функции в прежней точке, т.е.