Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 4 из 18)
На основе уравнений (20)-(21) может быть составлена ММС в форме нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений (в виде уравнений переменных состояния [1,2,4,5].
 |
Выберем дерево графа cxeмы так, чтобы в ветви дерева вошли источники напряжения, емкости и нужное количество резисторов, а в хорды - источники тока, индуктивности (если имеются) и оставшиеся резисторы. Это всегда можно сделать, если ветви схемы не образуют топологических вырождений. (например, контуров из емкостных ветвей и источников ЭДС или сечений, образованных индуктивными ветвями и источниками тока). Иначе необходимо устранение вырождения [5]. На рис.5 показано дерево и сечения на графе схемы ТРУ.
Рис.5
Соответствующая матрица сечений П для схемы
| Сечения | ветви | ||||||||||||||||||||
| E | Uвх | С1 | С2 | С3 | С4 | Сэ | Ск | R3 | R1 | R2 | RБ | R4 | R5 | R6 | R7 | Iд | Iк | Iдэ | Iдк | ||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||
| 1 | 1 | -1 | |||||||||||||||||||
| 2 | 1 | -1 | |||||||||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | ||||||||||||||||
| |П|= | 8 | 1 | -1 | ||||||||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||
| 4 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 1 | |||||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||||||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | -1 | -1 | |||||||||||||||||
Емкостной контур (С2®Сэ®Ск®С3®С4) разорван включением небольшого R7. Матрица |П| разбивается на ряд характерных субматриц
| 1 | pERX | pEI | |
| pCRX | pCI | ||
| pCHIH | pCHIД | ||
| pRBRX | pRBI | ||
| pRX= | pERX | pRX= | pEI |
| pCRX | pCI | ||
| pRBRX | pRBI |
Подставим компонентные уравнения (11) в (20)-(21), в результате получим
С•d(Uc)/dt=pCRX•GХ•uRX+pCIH+IH(uH)+pCIД•a•IH(22)
iEB=pEBRX•GХ•uRX+pEBI•IXü
ý (23)
iRB=pRBRX•GХ•uRX+pRBI•IXþ
| uRX | ptRX | EB | EB=|E, uBX|t uRB=uR3(24) IX=|IH, IД|t |
| = | • | uC | |
| uIX | ptIX | uRB |
uRB=RB•iRB
В этих уравнениях
| C1 | 1/R1 | ||
| C2 | 1/R2 | ||
| C= | Cэ¦(uЭБ) | , GX=1/RX= | 1/RБ |
| Cэ¦(uКБ) | … | ||
| СН | 1/R7 |
| RB=R3, | IH= | IЭ(uЭБ) IК(uКБ) | IД=a•IH= | aN aI | • | IЭ IК |
Подстановка уравнения (24) в (22) приводит поcледнее к виду (25)
| -1 | EB | EB | |||||
| С•d(Uc)/dt= | С | • | (pCRX•GХ•ptRX• | uC | +pCIH•IH•(ptIX• | uC | )+pCIД•a•IH ) |
| uRB | uRB |
Соотношения (25), (23) и (24) - ММС в форме уравнений переменных состояния, назовем ее ММС-ДР2. (Математическая модель схемы - динамический режим 1).
В сокращенном виде эти соотношения запишутся в виде
Xд=¦д( Xд, Xл, ЕВ), Xд=| Xлд, Xнд|t, Xл=¦л( Xд, Xл, ЕВ) (26)
Второе уравнение можно представить и в форме:
|А|•X=¦д( Xд, ЕВ)
Если подставить в (23)-(25) значения топологических субматриц pIJ и параметров ветвей C1,C2,...,R1,R2,.., a и т.п., то получим математическую модель ТРУ для динамического режима при большом воздействующем сигнале.
Сравнение ММС-ДР1 и ММС-ДР2 показывает, что прежде всего они отличаются видом математических уравнений (в первом случае - неявная форма алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений, во втором случае производные, переменных дифференциальных уравнений выражены явно) и числом независимых переменных (в первом случае - это j, во втором - |uС, uRX, uIX |t- При необходимости получения напряжений и токов всех ветвей в ММС-ДР1 приходится иметь дело с (2•l+q) уравнениями (14), (13) и (11), в ММС-ДР2 с n£ 2•l уравнениями.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В СТАТИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ
Схема находится в статическом режиме, если на нее воздействуют постоянные во времени сигналы, т.е. при t=to (или равном нулю)
uвх(to)=Е=const.
При этом токи в емкостях (напряжения на индуктивностях) равны нулю, что соответствует duC /dt =0 и diL /dt=0 или отсутствию изменений токов и напряжений в схеме. Подставляя эти условия в соотношения (9), (14), (25) получим соответствующие математические модели для статического режима - ММС ТРУ: ММС-Cтl, ММС-Ст2.
Математическая модель ТРУ для статического режима будет иметь вид (9) без членов с производными и при uвх=Е.
Уравнение (6) остается без изменений и позволяет определить напряжения на всех ветвях (включая емкостные) в статике после нахождения из (27) j и подстановки в (6). Необходимые токи ветвей, как и в динамике, можно найти из уравнений (2), (3).
Модель ММС-Ст1 на основе ММС-ДР1 (см. соотношения (14), (13), (11)) запишется как