Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 11 из 18)

õ ⁿ

0

Для линейных компонент запишем

линейная емкость

N

i_сл(t)=(1/4) S Iⁿ_сл • w^-n (95)

n

где N

Iⁿ_сл =jS(r•w₁) •C•U^r_c• w^-r (96)

r

линейная проводимость

N

i_G(t)=(1/4)SG•Uⁿ_G• w^-n (97)

n

С учетом всех пред идущих выводов в матричной форме получим систему в области комплексных амплитуд используя одномерное преобразование Фурье

N N N N

(|А_сн|/4)• S Iⁿ_сн +(|А_с|/4)• SIⁿ_с+(|А_с|/4)• SIⁿ_н+(|А_R|/4)•SG•|А_с|^t•Uⁿ=

n n n n

N

= (1/4) •SIⁿ_вх (98)

n

где

2p

ó N N

Iⁿ_cн=(jw/4p²)•ôС• (|А_сн|/4)•[SUⁿ•w^-n]•wⁿ•[Sr•|А_сн|^t•U^r•w^r]•dt₁ (99)

õ ^{n r}

0

N

Iⁿ_cл=jS(r•w₁)•С•|А_сн|^t•U^r•w^r•dt₁ (100)

^r

2p

ó N

Iⁿ_н=(1/p²)•ôi_н•[S•|А_сн|^t•Uⁿ•w^-n]•wⁿ •dt₁ (101)

õ ⁿ

0

ПРИМЕР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ ОДНОМ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ.

Электронная схема для математической модели динамического режима в частотной области с большим сигналов представлена на рисунке 12.

Рис. 12

Пусть входное воздействие на схему (рис.12) будет иметь переменную и постоянную составляющую:

u_ВХ(t) = u₀₁+ u_1м•sin(w•t) (102)

Тогда система уравнений описывающая данную схему будет иметь вид:

u_Д(t) + u_R(t) = u_ВХ(t)

i_Д(t) + i_С(t) -- i_R(t) =0

i_С(t)=C•du_Д(t)/dt (103)

i_R(t)=G_R•u_R(t)

i_Д(t)=Io•(e^{u(t) / jт} --1)

Перейдем от уравнений (103) во временной области к уравнениям в частотной области (U, I -комплексные величины).

Гармоники входного воздействия:

u₀₁ Û Uo u_1м•sin(w₁•t) Û U₁ (104)

где (|U₁|=u_1м/2^0.5)

Гармоники тока через диод:

p

ó æ _0.5• j_т•SU^к_Д•е^j•n•t1 ö

i_Д(t) Û I^к_Д=1/(2p)•ô I_о•ç е ^к=1 --1÷ • е^-jкt1• dt₁ (105)

õ è ø

-p

где t₁=w₁•t

Ток через емкость для к-ой гармоники:

(линейная емкость) i_С(t) Û I^к_С= j•к•w•C•U^к_Д (106)

Ток через резистор для к-ой гармоники:

i_R(t) Û I^к_R= G_R•U^к_R (107)

Система уравнений (103) относительно комплексных амплитуд при к=1,2,3,…. имеет вид

U^к_Д +U^к_R--U^к_ВХ=0 Þ F₁(I), I=1,2,3,….

I^к_Д +I^к_C -I^к_R=0 Þ F₂(I) (108)

С учетом (104)-(107) уравнения (108) запишутся

U^к_Д +U^к_R--U^к_ВХ= F₁(I)

p (109)

ó æ _0.5• j_т•SU^к_Д•е^j•n•t1 ö

1/(2p)•ôI_о•çе ^к=1 -1÷• е^-jкt1•dt₁+j•к•w•C•U^к_Д-G_R•U^к_R=F₂(I)

õ è ø

| -p |

^{_________________________}_Ú^{________________________________}

F_I(U^к_Д)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ ДВУХ БОЛЬШИХ СИГНАЛАХ.

ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ.

При воздействии на схему большого гармонического сигнала с для составлении математической модели схемы в частотной области применяют однократное преобразование Фурье.

Если на нелинейный элемент с характеристикой

¦(uн₁,uн₂,…,uн_z)

воздействует сигнал большой мощности, то разложение в ряд Фурье имеет вид:

M N

¦_н(t) =(1/4) • S S Ф^mn • e^{j(m•w1+n•w2)•t} (110)

m=-M n=-N

где

2p 2p

óó (111)

Ф^mn=(1/p²)•ôô¦(uн₁,uн₂,…,uн_z)•е^{-j(m•t1 +n•t2)}•dt₁•dt₂ , t₁=w₁•t, t₂=w₂•t,

õõ

0 0

M N

uн_q(t)=(1/4)•S SU^mn_нq•e^{j(m•w1+n•w2)•t}

m=-M m=-N q=1,2,……,z t₁=w₁•t, t₂=w₂•t,

Ф^mn и U^mn_нq- комплексные амплитуды гармоник;

n- номер гармоники (w=m•w₁+ m•w₂);

M,N-количество используемых гармоник;

Для упрощения записи введем обозначение w^mn= е^{j(m•t1 +n•t2)} (112)

w^-m-n= е^{-j(m•t1 +n•t2)}

M N M N

а вместо S S будем использовать S S

m=-M n=-N m n

учтем также

_{M N}

u(t)=(1/4)• SS U^mn_нq • e^{j(m•w1+n•w2)•t} (113)

m n

_{M N}

i_вх1(t)=(1/4)• SS I^mn_вх1 • w^-m-n

m n

_{M N}

i_вх2(t)=(1/4)• SS I^mn_вх2 • w^-m-n

m n

_{M N}

при переходе в частотную область d/dt Û SSj(r•w₁+s•w₂)

r s

Для нелинейного конденсатора i_сн(t)=С(u_с)•du_с/dt (114)

Комплексные амплитуды определяются из соотношения

2p2p

óó M N

I_cⁿ=(jw/4p²)•ôôС(u_сн)•w^mn[SS(r +s•w₂/w₁) •U^rs_c•w^-r-s]•dt₁•dt₂ 90)

õõ ^{r s}

0 0

напряжение на нелинейный конденсаторе

M N

u_сн(t)=(1/4) SS U_c^mn • w^-m-n (115)

m n

ток через нелинейный кондненсатор

M N

i_сн(t)=(1/4) SS I_c^mn • w^-m-n (116)

m n

ток нелинейный резистор

M N

i_н(t)=(1/4) S S I^mn_н • w^-m-n (117)

m n

где

2p2p

óó M N

Iⁿ_н=(1/p²)•ôô i_н(t)(S S •U^mn_н•w^-m-n)• w^mn •dt₁•dt₂ (94)

õõ ^{m n}

0 0

Для линейных компонент запишем

линейная емкость

M N

i_сл(t)=(1/4) SS I^mn_сл • w^-m-n (118)