Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Интеллектуальные информационные системы» Санкт-Петербург (стр. 7 из 10)

вектор B ‑ вектор размерности (p×1), компонентами которого являются заданные значения индекса для обучающей выборки:

B=[b₁,…,b_p]^T.

Рассмотрим сингулярное разложение матрицы M:

(4)

Определим матрицу M⁺ следующим образом:

(5)

Предложение 3. Матрица M⁺ определяет решение уравнения (3) в следующем виде:

C=M⁺B. (6)

Доказательство: Умножим обе части уравнения (6) слева на матрицу M⁺:

M⁺MC=M⁺B. (7)

Умножим обе части полученного уравнения (7) слева на матрицу M:

MM⁺MC=MM⁺B. (8)

Учитывая в левой части (8) условие М⁺М=Е, получаем

где

‑ нулевой вектор размерности (p×1).

Так как исходная матрица М тождественно не равна нулю, получаем решение (6), что доказывает справедливость Предложения.

Предложение 4. Формула (6) дает решение уравнения (3) в смысле минимума среднеквадратической ошибки:

Q= (MC ‑ B)^T(MC ‑ B). (9)

Доказательство: Для доказательства определим в явном виде вектор коэффициентов C таким образом, чтобы минимизировать квадратичный критерий качества (9):

По правилам векторно-матричного дифференцирования, возьмем производную от Q по C и приравняем ее нулю:

(10)

Из полученной системы алгебраических уравнений (10) определим вектор коэффициентов C:

(11)

Получим выражение для правой части (11) через компоненты сингулярного разложения.

Транспонированная матрица M^T имеет следующий вид:

(12)

Сформируем произведение M^TM:

С учетом условий ортогональности для правых и левых сингулярных векторов получим:

(13)

Так как матрица (13) симметричная, то обратная матрица представляется в виде

(14)

Сравнивая (14) с (5) получаем:

M⁺= (M^TM)^-1M^T,

что и требовалось доказать.

Матрица M⁺ называется псевдообратной матрицей (Мура-Пенроуза) для матрицы M. В зависимости от соотношения размерностей выражение для нахождения псевдообратной матрицы будет различным:

при p≥m;

при p<m;

· M⁺= M^-1 при p=n (псевдообратная матрица равна обратной матрице).

На основе сингулярного разложения, нетрудно проверить, что матрица M⁺ удовлетворяет следующим четырем условиям Мура-Пенроуза [9]:

Важным свойством представления M⁺ через компоненты сингулярного разложения является то, что задача определения оптимальных коэффициентов C индекса решается на основе сингулярного разложения матрицы M, которое выполняется теми же процедурами базового алгоритма вычисления индекса.

Выражение для оптимального вектора коэффициентов C через компоненты сингулярного разложения имеет вид:

(14)

Ниже представлены частные случаи процедуры формирования индекса с использованием компонент сингулярного разложения матрицы М.

5.3. Одномерный линейный случай

Для этого случая обучающая система уравнений (2) имеет следующий вид:

. (15)

При векторно-матричном представлении этой системы матрица M=M₁, где матрица M₁ размерности (m×2) и вектор коэффициентов C₁ размерности (2×1) имеют следующий вид:

(16)

5.4. Лабораторная работа № 5

Цель работы: создание программного модуля для формирования индексов риска на основе инструментария универсальной системы MATLAB.

Рисунок 20

Рисунок 21

5.4.1. Порядок выполнения работы

5.4.2. Порядок оформления отчета

5.4.3. Контрольные вопросы

10.

6. ТЕСТИРОВАНИЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ЛАЗЕРНЫХ ДИОДОВ НА ОСНОВЕ ИНСТРУМЕНТАРИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ СИСТЕМ MATLAB

6.1. Описание задачи

Полупроводниковые лазерные диоды способны генерировать большую мощность оптических импульсов в пикосекундах, требуемых в различных приложениях, таких как высокое разрешение лазерных измерителей время пролета дистанции, лазерной томографии и т.д. Ниже рассматривается лазерный диод GaAs/AlGaAs с модуляцией усиления, с двойной гетероструктурой и одной возможной преградой (помехой), объединенной с активной областью. Показано, что оптическая энергия в этой преграде может быть значительно увеличена. Также было принято предположение, что присутствие нескольких потенциальных барьеров могло бы увеличить дополнительную излучаемую оптическую энергию. Вычислительная имитация для структуры с тремя барьерами показывает, что оптические ответы структуры строго зависят от параметров всех барьеров, и эта зависимость является гораздо меньше, чем для структуры с одним или двумя барьерами.

Для создания лазерного диода, сначала необходимо удостовериться, что выбранная структура является оптимальной. Очевидно, что создание и тестирование различных структур является дорогостоящим процессом, который также отнимает много времени. С одной стороны, традиционные методы симуляции лазерной динамики (например, вычислительная физика) являются такими же дорогостоящими и время поглощающими, в результате чего также невозможно протестировать достаточное количество исходных данных. Для того, чтобы синтезировать структуру лазерного диода, который обеспечил бы максимальную мощность оптической энергии, необходимы новые нестандартные вычислительные подходы.

6.2. Тестовые данные

Тестовые данные для структуры лазерного диода с тремя барьерами приведены в таблице 5. Эти данные были получены с использованием методов вычислительной физики. Следует отметить, что для такой структуры лазерного диода до сих пор не существует экспериментальных результатов. Однако вычислительные результаты для более простой структуры, которая имеет только один внутренний барьер, хорошо согласуются с экспериментальными структурами.

Как утверждалось выше, оптическая энергия зависит от свойств внутренних барьеров лазерного диода. Входными данными являются значения этих барьеров и процентное отношение алюминия в тернарном решении AlGaAs, которые определяют возмещение энергии этих барьеров. Поэтому, индикаторы определены следующим образом:

- x1 и x5 являются процентным отношением алюминия в генераторах электронов и отверстий соответственно;

- x2, x3 и x4 являются процентным отношением алюминия в 1-ом, 2-ом и 3-ем внутренних барьерах соответственно.

Число класса (индекса) соответствует выходной оптической мощности в отклике к наносекундному текущему импульсу с амплитудой в 3.2 А, а именно:

- класс 1: 0-2 Вт;

- класс 2: 2-3 Вт;

- класс 3: 3-4 Вт;

- класс 4: 4-5 Вт;

- класс 5: 5-6 Вт;

- класс 6: 6-7 Вт;

- класс 7; более, чем 7 Вт.

В таблице 5 представлены первые 15 структур, которые были использованы как обучающие образы (выделены жирным).

Таблица 2Оптическая мощность различных структур лазерного диода

						Класс (оптическая мощность)
1	40	40	30	30	40	1
2	40	20	40	30	40	1
3	40	30	55	40	40	1
4	30	40	40	30	55	1
5	40	30	40	30	40	2
6	40	40	40	30	55	3
7	40	40	30	40	40	3
8	40	20	30	40	40	4
9	40	30	40	55	40	4
10	40	30	40	40	40	4
11	55	40	40	30	30	4
12	30	40	40	30	30	5
13	40	40	40	30	40	6
14	55	40	40	30	55	6
15	40	40	40	30	30	7
16	30	40	40	30	40	?
17	40	40	40	20	40	?
18	40	40	40	40	40	?
19	40	20	40	40	40	?

6.3. Лабораторная работа № 6

Цель работы: создание программного модуля для реализации вычислительной процедуры проведения тестирования полупроводниковых лазерных диодов на основе инструментария универсальных систем MATLAB.