Методические указания по выполнению лабораторной работы №6 по курсу “Цифровая обработка сигналов” томск 2010 (стр. 1 из 4)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Томский политехнический университет
| ²УТВЕРЖДАЮ² Декан ЭФФ ____________ Евтушенко Г.С. «_____» ____________ 2010 г. |
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОГО БИХ-ФИЛЬТРА
МЕТОДОМ БИЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ПАКЕТЕ ПРОГРАММ MATLAB
Методические указания
по выполнению лабораторной работы №6
по курсу “Цифровая обработка сигналов”
ТОМСК 2010
Лабораторная работа №6
Проектирование цифрового БИХ-фильтра методом билинейного преобразования в пакете программ MATLAB
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1.1. изучить особенности синтеза БИХ-фильтров методом билинейного преобразования в пакете программ MATLAB;
1.2. синтез цифрового фильтра методом билинейного преобразования;
1.3. исследование характеристик синтезированного цифрового фильтра.
2. КРАТКИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
2.1. Метод билинейного преобразования
Метод билинейного преобразования относится к аналитическим методам расчета.
По методу билинейного преобразования синтезируемому ЦФ ставится в соответствие некоторый аналоговый фильтр-прототип (АФП ) с передаточной функцией Н(s) и частотной характеристикой H(j×Ω), однозначно связанными с передаточной функцией H(z) и частотной характеристикой H(j×ω) ЦФ:
АФП ЦФ АФП ЦФ
Связь эта определяется прямой s=f(z) и обратной z=f-1(s) преобразующими функциями и соответствующими им при s=j×Ω и z=ej×ωTд преобразованиями частот
Ω=f(ω), ω=f-1(Ω) аналогового и цифрового фильтров.
С помощью этих преобразований определяются требования к АФП, по которым хорошо разработанными методами синтезируется его передаточная функция H(s), преобразуемая затем в искомую передаточную функцию ЦФ H(z).
Билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:
| s=f(z)=(2/T)[(1–z-1)/(1+z-1)] | (1) |
Можно также найти обратное соотношение
| z-1=[(2–s×T)/(2+s×T)] | (2) |
Из свойств процедуры перехода на основе билинейного преобразования следует, что мнимая ось S-плоскости отображается в единичную окружность в Z-плоскости (где |z|=1)
Рис. 2. Свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразования
Билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в Z-плоскости соответствует точно одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения.
Методика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразования включает в себя нахождение подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применение к ней билинейного преобразования для получения передаточной фикции H(z) требуемого цифрового фильтра
 | (3) |
При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра идентичны, одинакова только их «форма». Например, если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра монотонно спадает при 0 <W< ¥, то соответствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (3), будет обладать монотонно спадающей АЧХ при 0 <w< ¥,. То есть, если АЧХ аналогового фильтра имеет k подъемов и спадов при 0 <W< ¥, то и амплитудно-частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет обладать k подъемами и спадами.
В результате перехода к нормированным частотам ЦФ частотные преобразования принимают вид
 | (4) |
Характер деформации частот при билинейном преобразовании показан на рис. 3.
Рис. 3. Преобразование АЧХ аналогового ФНЧ в АЧХ цифрового ФНЧ
Для обеспечения равенства
необходимо деформировать частоту аналогового ФНЧ – прототипа: 
.Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой w и аналоговой частотой Ω приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.
2.2. Порядок синтеза РЦФ по аналоговому прототипу
Возможны два метода проектирования ЦФ по аналоговому прототипу.
В первом методе расчет аналогового фильтра-прототипа (АФП) начинается с нахождения соответствующего аналогового фильтра-прототипа низких частот (АФПНЧ). В дальнейшем используется подходящее аналоговое частотное преобразование для перевода этого прототипа низких частот в требуемый АФП. Наконец, на основе процедуры отображения этот аналоговый фильтр преобразуется в желаемый цифровой БИХ-фильтр (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой), который удовлетворяет предъявленным требованиям. Полностью эта процедура расчета показана на рис. 3.а.
Метод билинейного преобразования (из-за нелинейного соотношения между цифровой частотой w и аналоговой частотой W) дает хорошие результаты только для тех частотных характеристик аналогового фильтра, которые представляют собой ступенчато-образную функцию. Это означает, что процедура отображения (рис. 3.а) не обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних частот, заграждающих и некоторых типов полосовых фильтров.
а) б)
Рис. 3. Процедуры расчета цифровых фильтров
Для исключения этих недостатков используется другой подход к расчету цифровых БИХ-фильтров. Такой способ изображен на рис. 3.б. В этом случае процедура отображения всегда имеет дело с нормированным цифровым прототипом низких частот. Данный подход состоит в нахождении подходящего нормированного аналогового фильтра-прототипа низких частот. Аналоговый прототип отображается в цифровой фильтр-прототип низких частот (ЦФПНЧ). Наконец, используется цифровое частотное преобразование для перехода от цифрового прототипа низких частот к окончательному варианту, т.е. цифровому фильтру с подходящими характеристиками в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетворяющему предъявленным требованиям.
2.3. Синтез аналогового ФНЧ-прототипа (АФПНЧ)
Синтез АФПНЧ включает выбор аппроксимирующей функции, определение порядка фильтра m, значений нулей s0i и полюсов spi и передаточной функции по заданным граничным частотам Ωс = 1, Ωз и допускам на погрешности аппроксимации δ1, δ2 ( Aп, Aз ).
Нули и полюса синтезированного АФПНЧ полностью определяют его передаточную функцию H(s):
 | (5) |
где С – нормирующий множитель; m1 – число конечных нулей (m1 < m).
Следует отметить, что полюса АФПНЧ являются вещественными или комплексно-сопряженными числами (со знаком минус перед реальной частью), а конечные нули чисто мнимыми.
Синтез АФПНЧ заключается в аппроксимации его заданной идеализированной ЧХ с помощью соответствующих аппроксимирующих функций. Типичные графики частотных характеристик нормализованного АФПНЧ с полиномиальной и дробной аппроксимациями приведены на рис. 4.
Для частотных характеристик с равноволновыми пульсациями на графиках указаны соответствующие им частоты нулей и полюсов Ωpi, Ω0i ПФ.
Фильтр Баттерворта.
Аппроксимация АФПНЧ Баттерворта имеет только полюса и обеспечивает наиболее гладкую АЧХ.
Порядок фильтра Баттерворта определяется по заданному ослаблению АЗ на некоторой частоте WЗ.
 | (6) |
Фильтр Чебышева 1.
Аппроксимация АФПНЧ Чебышева 1 также имеет только полюса и обеспечивает наиболее быстрый переход из полосы пропускания к полосе заграждения при заданных искажениях в полосе пропускания.