Методические указания (сборник задач) по курсу «системы принятия решений» (стр. 5 из 8)

50. Проверить, что функция

- выпукла на .

51. Пусть

- выпуклые функции на множестве . Доказать, что функция - выпукла на .

52. Пусть

- выпуклые функции на множестве , , и хотя бы при одном функция строго (сильно) выпукла, . Доказать, что - строго (сильно) выпукла на .

53. Доказать, что функция

- выпукла на , если функции , , выпуклы на .

54. Пусть

- выпуклая функция на выпуклом множестве . Показать, что при всех , для которых .

55. Доказать, что функция

сильно выпукла на , .

56. Доказать, что строго вогнутая функция может достигать своего минимального значения только в крайних точках выпуклого множества

, на котором она определена.

57. Найти максимальное значение функции

при выполнении ограничений:

58. Пусть функция

- непрерывная, монотонно неубывающая функция на отрезке . Показать, что функция является выпуклой на отрезке .

1. Проверить, что функция
   выпукла на
   .

Задача

(12)

называется выпуклой, если

- выпуклое множество, а выпуклая функция на .

60. Доказать, что в выпуклой задаче любое её локальное решение является также и глобальным.

61. Пусть функция

выпукла на и дифференцируема в точке . Доказать, что если , то - точка минимума функции на .

62. Известно, что выпуклая задача (12) имеет решение. Доказать, что тогда множество её решений выпукло, если при этом

строго выпукла на , то решение задачи (12) единственно.

Условия оптимальности

Пусть

- множество направлений убывания функции в точке , а - множество возможных направлений относительно множества в точке . Напомним, что вектор задаёт направление убывания функции в точке , если при всех достаточно малых , и возможное направление относительно множества в точке , если точка при всех достаточно малых .

63. Доказать, что если

- локальное решение задачи (3) без каких-либо предположений на множество и функцию , то .

64. Пусть в задаче (12) множество

выпукло, а функция - дифференцируема в точке . Доказать, что тогда, если - локальное решение задачи (12), то

, (13)

если же

выпукла на и выполняется (13), то - глобальное решение задачи (12).

65. Доказать, что если

( - внутренняя точка множества ), то (13) эквивалентно условию .

66. Пусть множество

имеет вид , где , (если или , то соответствующий знак неравенства в задании множества следует понимать как строгий). Доказать, что тогда условие (13) эквивалентно условию: для любого