Методические указания (сборник задач) по курсу «системы принятия решений» (стр. 2 из 8)

при всех . (4)

Теорема 4 (Достаточное условие локальной оптимальности)

Пусть функция

дважды дифференцируема в точке и , а матрица положительно определена, то есть

при всех , . (5)

Тогда

- строгое локальное решение задачи (2).

Теорема 5 (Критерий Сильвестра)

Симметрическая матрица является неотрицательно (положительно) определенной, тогда и только тогда, когда все её главные (угловые) миноры неотрицательны (положительны).

Пример 1.

Рассмотрим задачу безусловной оптимизации:

.

Решение:

1. Выпишем необходимое условие локальной оптимальности первого порядка:

Решениями этой системы являются точки

= (0,0),

1. Рассмотрим гессиан функции
   в точках
   и
   :

, .

Матрица

по критерию Сильвестра не является неотрицательно определённой, то есть необходимое условие локальной оптимальности второго порядка не выполняется. Отсюда следует, что точка = (0,0) не может быть решением задачи.

Матрица

положительно определена. Следовательно, выполняется достаточное условие локальной оптимальности. Точка – строгое локальное решение задачи.

В следующих задачах требуется привести примеры функций одной или двух переменных, в которых выполняются указанные ниже требования.

6. Глобальные максимум и минимум достигаются в бесконечном числе точек.

7. Функция ограничена, глобальный максимум достигается, а глобальный минимум не достигается.

8. Функция ограничена, но глобальные минимум и максимум не достигаются.

9. Функция ограничена, имеет локальные минимумы и максимумы, но глобальные максимум и минимум не достигается.

10. Имеется единственный локальный экстремум, не являющийся глобальным.

11. Имеется бесконечное число локальных минимумов, но нет ни одного локального максимума.

12. Найти все точки локального минимума и локального максимума функции

на .

Найти локальные решения в задачах 13-16.

13.

.

14.

15.

16.

17. Найти наименьшее значение функции

, где ; - заданные числа.

18. Показать, что в методе наискорейшего спуска направления

и - ортогональны.

Напомним, что метод наискорейшего спуска предназначен для отыскания локального минимума функции

и задаётся расчётной формулой для заданной точки и , которые выбираются из условия минимизации функции вдоль направления антиградиента для каждого .

Задача математического программирования (1) называется классической задачей на условный экстремум, если

, то есть

(6)

Функция Лагранжа классической задачи на условный экстремум определена при

, , .

Теорема 6 (Необходимое условие локальной оптимальности первого порядка)

Пусть функции

непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки . Если - локальное решение задачи (6), то существует число и вектор не равные нулю одновременно и такие, что

. (7)

Если градиенты

линейно независимы, то .

Условие линейной независимости градиентов ограничений в точке

называется условием регулярности. Числа называются множителями Лагранжа. Функция Лагранжа, для которой , называется регулярной.

Теорема 7 (Необходимое условие локальной оптимальности второго порядка)

Пусть функции

дважды дифференцируемы в точке и непрерывно дифференцируемы в некоторой её окрестности, причём градиенты линейно независимы. Если - локальное решение задачи (6), то

(8)

при любых

, , удовлетворяющих (7), и всех таких, что

(9)

Теорема 8 (Достаточное условие локальной оптимальности)

Пусть функции

дважды дифференцируемы в точке , удовлетворяющей ограничениям . Предположим, что при некоторых , выполняется условие (7), и кроме того