Методические указания к лабораторным работам №1,2,3,4 для студентов 3-го курса физико-технического факультета Екатеринбург (стр. 6 из 8)
Найдем скорость истечения в зависимости от отношения давлений P0/P1. Для этого запишем уравнение Бернулли в виде
(1.2)
Для газа, идеального в термодинамическом смысле, для энтальпия единицы массы определяется по формуле:
Рис.1.1. Схема истечения газа через сужающийся насадок
где g=Cp/Cv - показатель адиабаты; Cp, Cv - удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно; C - скорость звука; V, r - удельный объем и плотность газа соответственно.
Подставляя (1.3) в (1.2), находим
(1.4)Адиабатическое движение описывается уравнением Пуассона (уравнение адиабаты)
(1.5)Подставляя (1.5) в (1.4), получим
(1.6)Формула (1.6) называется формулой Сан-Венана-Вентцеля. Из формулы (1.6) следует, что при P1=P0 газ в системе покоится V1=0, что и следовало ожидать.
По мере уменьшения давления P1 скорость V1 увеличивается и, наконец, при некотором критическом значении P1=P* становится скорость равной скорости звука на срезе насадки. При этом плотность и температура также примут критические значения r*, T*. Эту скорость называют местной скоростью звука и обозначают через C*.
Вычислим значения V1=C*, P1=P*, r1=r*, T=T* в зависимости от термодинамических параметров газа внутри сосуда. Для этого снова воспользуемся уравнением Бернулли. С учетом соотношений (1.3) можно записать:
(1.7)Из формулы (1.7) видно, что критическая скорость зависит только от температуры покоящегося газа внутри сосуда.
Критическое давление P* , очевидно, можно найти из формулы Сан-Венана-Вентцеля, полагая V1=C*. Подставляя (1.7) в (1.6), имеем
(1.8)Если принять для воздуха g = 1,4, то получим
P*=0.53P0.
Таким образом, при достижения давления P1=0.53P0скорость истечения газа на срезе сопла будет равна скорости звука в этом сечении. Аналогично можно вычислить плотность r*.
(1.9)При дальнейшем уменьшении давления P1(P1<P*) скорость истечения газа из насадки остается постоянной, поскольку газ, движущийся со звуковой скоростью на срезе сопла, не «чувствует» изменений давления на выходе из него, т.к. распространяющиеся со звуковой скоростью возмущения в газе, которые возникают при увеличении скорости откачки газа за насадком с помощью откачивающего насоса, вне сопла не могут проникать против течения на выходном сечении сопла.
Поэтому V1=C* есть максимальная скорость истечения газа из сужающейся насадки, которая зависит только от температуры газа в сосуде (см. формулу (1.7)) и не зависит от давления в нем. Из формул (1.8) и (1.9) следует, что вдоль линии тока, начинающейся в неподвижном газе, давление и плотность уменьшаются от P0 и r0 до P* и r* на срезе сопла, а скорость увеличивается от 0 до C*.
Рассмотрим, как изменяется плотность потока раза вдоль линии тока. Из уравнения Бернулли следует
(1.10)Поскольку при адиабатическом процессе энтропия единицы массы S0 постоянна, т.е. dS0=0, из определения скорости звука следует
(1.11)Взяв логарифмическую производную от плотности потока, получим
(1.12)Подставляя (1.12) и (1.11) о (1.10), получим
(1.13)Рассмотрим трубку тока. Для идеальной жидкости поверхность насадки является поверхностью трубки тока. Из уравнения непрерывности следует, что
(1.14)Здесь S - переменное сечение трубки тока. Из (1.14) следует, что направление изменения rV и S противоположно. Поэтому если вдоль линии тока скорость движения газа увеличивается (dV>0) , то при дозвуковом движении (М<1) плотность потока rV также увеличивается, но при этом сечение трубки тока должно уменьшаться или, если трубкой тока является сужающаяся насадка (dS<0) и если скорость движения газа в насадке увеличивается, то увеличивается и плотность потока газа, достигая максимального значения в самом узком месте насадки, т.е. на ее срезе. Действительно, если бы на срезе насадки была бы достигнута скорость больше скорости звука, то плотность потока вдоль линии тока, согласно (1.13) и (1.14), уменьшилась бы.
Поэтому плотность потока на срезе сопла является максимально возможной при заданных параметрах газа внутри сосуда.
Вычислим максимальный объемный и массовый расход газа через насадок. Принимая во внимание вышеуказанное и пользуясь формулами (1.7) и (1.9), объемный расход определяется формулой
(1.15)Массовый расход равен
(1.16)
В формулах (1.15) и (1.16) Smin - площадь минимального сечения насадки.
Из формул (1.15) и (1.16) следует, что массовый расход газа через насадки зависит от давления и температуры газа в сосуде, тогда как объемный расход зависит только от его температуры.
Принимая для воздуха g=1,4, M=29, R=8,315*103 Дж/кмоль*K, получим .
, м3/с (1.17)Независимость расхода газа через сужающиеся насадки от давления P1 при P1<P* используется в технике и лабораторной практике для стабилизации потока газа через трубопровод. Если параметры газа перед насадкой не изменяются, а давление газа за насадкой всегда меньше критического, то как массовый, тай и объемный расходы будут оставаться постоянными при любах колебаниях давления P1 в пределах Р*> Р1>О. Если же P1 сохраняется постоянным, а P0 изменяется в области P0>P1/0.53, то росходы и массовый и объемный также останутся постоянными.
На практике в качестве сужающегося насадка обычно применяется просто плоская диафрагма с отверстием, диаметр которой много больше толщины диафрагмы. Такое отверстие называют “идеальным” отверстием, т.к. для него можно принебречь влиянием внутренних стенок на поток газа. Если диаметр отверстия диафрагмы много меньше диаметра трубопровода, то скорость движения газа через отверстие будет много больше скорости раза в трубопроводе, и газ перед диафрагмой можно считать покоящимся. В этой случае все вышеприведенные формулы оказываются справедливыми.
2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Принципиальная схема экспериментальной установки представлена на рис.2.1.
Рис.2.1. Принципиальная схема установки:
1 - Образцовый вакуумметр; 2,3,4 - камеры; 5 - ротаметр; 6 -форвакуумный насос; 7.8,9,10 - вентили; 11.12,13 - диафрагмы
Давление с одной стороны диафрагмы поддерживается равным атмосферному. С другой стороны давление изменяется с помощью форвакуумного насоса 6 и регулируется сильфонным вентилем 7. Величина давления фиксируется образцовым вакуумметром 1. Ротаметр, поставленный на входе всей системы, позволяет измерять объемный расход газа, протекающего через отверстие. При понижении давления за диафрагмой расход газа растет, но лишь до тех пор, пока давление на диафрагме не достигнет «критического» значения. При дальнейшем понижении давления за диафрагмой расход газа не изменяется и остается равным Qv max.
3. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕЖЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
3.1. Задание
3.1.1. Измерить зависимость расхода от давления для трех различных диафрагм.
3.1.2. По результатам измерений построить график зависимости объемного расхода газа от разности давлений на диафрагме.
3.1.3. Из графика найти значения максимального расхода газа и критического давления за диафрагмой.
3.1.4. Рассчитать соответствующие теоретические значения объемного расхода воздуха и провести сравнение с экспериментальными данными.
3.2. Проведение измерений
Измеряемыми величинами являются температура, разность давлений на диафрагме и объемный расход воздуха через диафрагму.
3.2.1. Температура воздуха принимается равной комнатной ввиду малых (до диафрагмы) скоростей течения газа.
3.2.2. Разность давлений на диафрагме. Давление воздуха перед диафрагмой принимается равным атмосферному, поскольку скорость газа перед диафрагмой мала. Давление воздуха за диафрагмой измеряется образцовым вакуумметром 1.
3.2.3. Объемный расход воздуха. После включения форвакуумного насоса 6, слегка приоткрывая вентиль 7, установить давление после диафрагмы, равное 10 делениям шкалы вакуумметра 1. С помощью ротаметра 5 измерить расход воздуха. Излученные результаты внести в таблицу приложения. Дальнейшие измерения повторять через 10 делений шкалы вакуумметра. Аналогичные измерения произвести для других диафрагм. Результаты измерений занести в таблицу приложения.