Методические указания к лабораторным работам №1,2,3,4 для студентов 3-го курса физико-технического факультета Екатеринбург (стр. 3 из 8)
Скорость
обычно называют средней массовой скоростью или скоростью течения смеси газов. Тепловая (собственная) скорость 
молекул i-го сорта определяется как скорость молекулы относительно системы координат, движущейся со средней массовой скоростью , т.е.
. (1.2)Диффузионная скорость
есть скорость потока молекул сорта i относительно системы координат, движущейся со средней массовой скоростью 
, т.е.
. (1.3)Очевидно, что диффузионная скорость есть средняя тепловая скорость. Величина
представляет собой вектор плотности потока массы (диффузионный поток) i-й компоненты смеси газов. Из определения средней массовой (1.1) и диффузионной (1.3) скоростей следует:
,
, (1.4)т.е. сумма диффузионных потоков компонент в смеси газов равна нулю.
Строгая кинетическая теория дает следующее выражение для диффузионного потока при отсутствии внешних сил, градиентов давления и температуры:
, (1.5)где
- коэффициент взаимной диффузии бинарной смеси газов; c1 = n1 / n,c2 = n2 / n - числовая концентрация компоненты 1 и 2 соответственно; n = n1 + n2 - числовая плотность частиц газовой смеси; очевидно, что c1 + c2 = 1.
1.2. Теория бароэффекта
 Рис 1.1. Принципиальная схема двух объемов, соединенных плоской щелью |
Рассмотрим процесс диффузии газов через плоскую щель, соединяющую два сосуда с объемами V1 и V2 , которые заполнены различными газами при одинаковых температуре и давлении (рис.1.I).
В начальный момент времени в объеме V1 содержится только легкий газ с числовой плотностью n1 и массой молекул m1 , а в объеме V2 - только тяжелый газ с плотностью n2 и массой молекул m2 . Молекулы легкого газа имеют большую тепловую скорость по сравнению с молекулами тяжелого газа, поэтому они будут проникать в противоположный сосуд быстрее, чем тяжелые. В результате между сосудами возникнет разность давлений, которая вызовет компенсирующий гидродинамический поток. Величина возникающей разности давлений будет определяться соотношением гидродинамического и диффузионных потоков. В некоторый момент времени, когда оба эти потока уравновесят друг друга, полный числовой поток молекул через щель будет равен нулю, а градиент давления достигнет своего максимального значения.
Таким образом, в стационарном состоянии общий числовой поток молекул через полное сечение щели должен быть равен нулю, т.е.
(1.6)Первое слагаемое в (1.6) представляет собой гидродинамический поток молекул под действием возникшей разности давлений, а второй и третий - диффузиионные потоки легкого и тяжелого газов соответственно. Используя соотношение (1.5) , условие баланса (1.6) в одномерном случае может быть записано в виде
(1.7)С другой стороны, скорость гидродинамического потока может быть вычислена по хорошо известной формуле Пуазейля. Для вывода этой формулы рассмотрим течение газа между двумя бесконечно широкими пластинками. Выделим слой газа между двумя параллельными плоскостями, расположенными на расстоянии y и y+dy от плоскости, проходящей посередине между пластинами (рис. 1.2). Скорости движения газа в этих плоскостях равны
и + 
соответственно. 
Рис. 1.2. К выводу формулы Пуазейля
В установившемся режиме условие равновесия между силами давления (на единицу ширины) и силами Ньютона, возникающими из-за вязкости газа, можно записать следующим образом:
(1.8)После интегрирования (1.8) по y находим
(1.9)Для определения поcтоянной a необходимо задаться граничными условиями. Наиболее часто применяемое граничное условие предполагает, что скорость газа на стенке равна нулю. Однако наличие градиента скорости, перпендикулярного стенке, и градиента концентрации вдоль стенки приводит к эффектам скольжения. Это означает, что величина средней массовой скорости в направлении движения вблизи стенки не будет равна нулю. Точное решение этой задачи может быть проведено методами строгой кинетической теории.
Рассмотрим элементарный вывод формулы для скорости скольжения. Выделим вблизи стенки на расстоянии средней длины свободного пробега l единичную площадку, параллельную стенке. Из общей физики известно, что число молекул, пересекающих единичную площадку в том и другом направлениях за единицу времени, равно 1/4 nVt = 1/4 n(8kT/pm)1/2. Таким образом, полный перенос импульса в направлении движения вдоль оси x через единичную площадку запишется в виде 1 / 4 nVt
- 1 / 4 nVt 
, где 
и 
- средние скорости молекул, отраженных от стенки и падающих на стенку соответственно.Этот перенос импульса эквивалентен силе, с которой газ, расположенный с отрицательной стороны площадки, действует на газ с положительной стороны. Эта сила равна ньютоновской вязкой силе Fx . Поэтому можно записать
(1.10)Здесь h - коэффициент динамической вязкости газа.
Средняя скорость у стенки может быть принята равной
Значение скорости 
зависит от типа взаимодействия молекул со стенкой. В простейшем случае, когда на стенке происходит диффузное рассеяние (равновероятное во все стороны с энергией стенки), а сама стенка неподвижна, средняя скорость молекул, отраженных стенкой, будет равна нулю. Поэтому скорость движения газа на расстояние l от стенки равна 
=1/2 
. Эту скорость называют скоростью скольжения газа на стенке.Если воспользоваться кинетическим определением коэффициента динамической вязкости h = 1/2 nmlVt / 1 /, то из (1.10) немедленно следует, что
(1.11)При более строгом решении скорость скольжения определяется следующим выражением:
(1.12)где величину s называют константой скольжения, которая зависит от рода газа, типа взаимодействия молекул со стенкой и является величиной положительной.
Для бинарной смеси газов в случае диффузного рассеяния молекул на стенке, используя граничное условие
при y= ± h /2, из (1.1) и (1.11) получаем
(1.13)С другой стороны, из (1.3) и (1.5) можно записать
(1.14)Совместное решение (1.13) и (1.14) с учетом определения средней массовой скорости (1.1) дает скорость смеси в пристеночном слое
(1.15)В выражении (1.15) первое слагаемое правой части называют скоростью вязкого скольжения, а второе - скоростью диффузионного скольжения; величины g и s12 называют коэффициентами вязкого и диффузионного скольжения соответственно.