Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики 2000 г (стр. 8 из 12)
Вокруг всякого проводника с током существует собственное магнитное поле, которое (поле) создает потокосцепление в контуре, который (контур) этот проводник образует. Эксперимент показывает, что это (собственное) потокосцепление в свою очередь изменяет ток в контуре. Таким образом, ток действует сам на себя, например, замедляя нарастание собственной величины в катушке при замыкании цепи или замедляя убывание тока при ее (цепи) размыкании.
Эксперимент показывает, что потокосцепление самоиндукции Yс пропорционально току, текущему по проводнику, и зависит от формы, размеров контура, а также от магнитных свойств среды:
Yс=LJ, (7)
где коэффициент – L, называемый индуктивностью проводника (контура) как раз и учитывает форму и размеры проводящего контура и магнитные свойства среды.
Так индуктивность соленоида[2]
L=mm0n2lS, (8)
здесь n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, l – длина соленоида, S – площадь одного витка контура с током.
Физическая величина L играет важную роль в электротехнике, поэтому ее размерность имеет собственное наименование Генри (Гн). Генри связывают с остальными величинами физики с помощью соотношения (7):
[L]=Вб/А=Гн
Если L остается постоянной (форма и размеры контура не изменяется, а также остается постоянной магнитная проницаемость среды – (ферромагнетиков нет см. § 7), то из (3), (6) и (7) следует
xс= - L dJ/dt, (9)
здесь dJ/dt – скорость изменения тока в контуре.
В общем случае
xс= - dYс/dt (9)
Среднее значение ЭДС самоиндукции за интервал времени Dt определяется изменением тока DJ за этот интервал времени:
<xс>=- L DJ /Dt (10)
Примеры решения задач.
В качестве примера возникновения ЭДС электромагнитной индукции в контуре можно рассмотреть наиболее часто встречающийся на практике случай вращения плоского витка в однородном магнитном поле, когда ось вращения лежит в плоскости витка и перпендикулярна вектору индукции магнитного поля В.
Пример 1. В однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, содержащая N=1000 витков. Площадь рамки S=150 см2. Индукция поля B=0,1 Тл. Рамка делает n=10 об/с. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки a0=300 и момент времени, соответствующий этому повороту.
Дано: N=1000 B=0,1 Тл S=150 см2= =150×10-4м2n=10 об/с a0=300=  Найти: x-?, t0 | Решение. Нередко случается, что текст задачи, приведенной в задачнике, оказывается недоопределенным. Наша задача недоопределена. Решим ее для случая, когда в начальный момент времени плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля и рамка вращается вокруг оси перпендикулярной линиям поля и проходящей через середины противоположных сторон рамки (рис.17). Мы доопределили задачу. Благодаря (6, § 5.1), эту задачу можно решить для одного витка, а затем результат умножить на N). |
Подставляя (2) в (1), получим
(3)Так как по условию рамка вращается равномерно, т.е. угол a зависит от времени по линейному закону w=const и a=wt, следовательно:
Ф=BScosa= BScoswt (4)
Здесь B – магнитная индукция, S – площадь витка, w - угловая скорость равномерного вращения.
Угловая скорость, входящая в соотношения, записанные в системе единиц СИ, связана с числом оборотов в единицу времени соотношением
w=2pn. (5)
(Число оборотов в минуту чаще называется частотой вращения и обозначается n)
Подставляя (4) и (5) в (3), получаем:
Нам необходимо определить x для того момента времени, когда аргумент синуса
2pnt=a0,
откуда
(7)t=a0/2pn. (8)
Проверяем размерность:
[x]=
. [t]= 
.Находим числовые значения величин:
x=1,5×10-2×6,28×103×10×0,1×
=47,1В;t=
с.Задача решена.
Ответ: ЭДС индукции равна x=47,1 В, момент времени равен t=8×10-3 с.
Пример 2. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 А в секунду, то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции x=0,08 В. Найти индуктивность соленоида.
| Дано: DJ= 50 A Dt= 1 c xc=0,08 В Найти: L ? | Решение: Применим (10): <xс>=- L DJ /Dt (1) т.к. в условиях нашей задачи за любой промежуток времени Dt= 1 c ток изменяется на одну и ту же величину DJ= 50 A, |
dJ/dtºDJ /Dt. При расчете константы, которая зависит от материала и конфигурации соленоида знак можно опустить (знак имеет значение в задаче определения направлений тока и (или) силовых линий индукции).
L=
(2)Размерность индуктивности – L, (Гн) как раз и определяется из соотношения (2): [L]=
=Гн.Найдем численное значение индуктивности:
L=0,08/50=1,6×10-1 Гн =1,6 мГн.
Задача решена.
Ответ: индуктивность равна L=1,6 мГн.
§6. Энергия магнитного поля
Магнитное поле способно совершать механическую работу, следовательно, оно обладает энергией. Энергию магнитного поля можно определить, если подсчитать либо механическую работу, затрачиваемую на создание поля, либо работу, которая совершается в процессе исчезновения поля.
По определению разности потенциалов
dА/dq=U,
разность потенциалов в контуре, вызываемая ЭДС самоиндукции производит работу (с учетом dq=Jdt):
dA=xc Jdt,
где
xc=LdJ/dt.
За все время установления тока в цепи (за время создания магнитного поля) совершается работа:
А=
(1)При создании поля в начальный момент времени t0=0, ток равен нулю J=0, конечному времени создания поля tк соответствует установившийся ток Jк, что учтено в установлении пределов интегрирования (1).
Если индуктивность контура не зависит от силы тока в нем (т.е. m среды не зависит от силы тока в контуре, см. следующий параграф) то величина L выносится за знак интеграла, как константа, и
А=
(2)Эта работа целиком идет на создание магнитного поля, значит численно эта работа равна энергии магнитного поля.
W=
(3)Для соленоида, у которого L=mm0n2V, (см. 8, § 6) выражение для энергии магнитного поля имеет вид:
W=mm0n2VJ2/2 (4)
Здесь V=l×S – объем соленоида.
Выразим энергию магнитного поля через силовые характеристики магнитного поля – В и Н.
В случае бесконечно длинного соленоида (практически, когда длина соленоида l много больше диаметра его витка d, l>>d)
H=nJ, откуда J=H/n (5)
Здесь n – число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины. Подставляя значение тока из (5) в (4), получим
(6)Учитывая связь Н и В, получим:
(7)Магнитное поле бесконечно длинного соленоида было бы однородно, отлично от нуля только внутри соленоида и распределено по его объему с постоянной, объемной плотностью w=W/V:
(8)[3]§7. Магнитные свойства вещества
Эксперимент показывает, что магнитное поле проводников с токами, находящихся в какой-либо среде, существенно изменяется по сравнению с магнитным полем этих же проводников в вакууме. Это объясняется тем, что всякое вещество способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент – намагничиваться, в связи с этим (способностью намагничиваться) всякое вещество называют магнетиком.
Модель, объясняющая подобные эксперименты, состоит в предположении движения электрических зарядов в атомах и молекулах вещества, которое создает микроскопические (молекулярные) токи, которые (токи) образуют собственные магнитные моменты атомов и молекул (см. §3.3).