Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики 2000 г (стр. 7 из 12)

Частица движется по окружности, плоскость которой

B со скоростью . И в то же время она движется поступательно с постоянной скоростью в направлении параллельном B.

Таким образом, результирующая траектория заряженной частицы в постоянном магнитном поле представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с одной из силовых линий магнитного поля. (рис. 15). Частица, как бы навинчивается на силовую линию магнитного поля.)

Причем шаг винтовой линии h (см. рис. 14) равен пути, пройденному вдоль винтовой линии, который (путь) равен скорости вдоль этого направления

=Vcosa, помноженной на время, затраченное на прохождение этого пути, которое (время) по определению шага винтовой линии равно как раз периоду обращения частицы вокруг силовой линии: t=T. Учитывая значения скорости (6) и периода (5), получаем:

h=

Vcosa. (11)

Пример решения задачи. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=1 кВт, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В=0,03 Тл под углом a=30⁰ к направлению силовых линий поля. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Рис. 15

При решении данной задачи обычно полностью повторяют выводы а), б) и в) данного раздела, так, что раздел 4.1 можно считать решением данной задачи. В условии задачи значения B и a заданы явно, а скорость - V, задана неявно.

Найдем в явном виде скорость и воспользуемся полученными ранее формулами. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон разгоняется и приобретает скорость, которую можно найти из закона сохранения энергии. В подобных задачах предполагают, что в начальный момент времени заряженная частица имела нулевую скорость (эксперимент производимый в современных ускорителях подтверждает уместность такого предположения). Значит, разогнавшись, частица совершит механическую работу, равную изменению ее кинетической энергии

А=

(1)

(в продолжении подобного эксперимента потенциальная энергия частицы не меняется, поскольку гравитационная сила исчезающе мала по сравнению с магнитной). Эта работа А совершается силами электрического поля. По определению разности потенциалов

, где q – заряд частицы. В случае электрона заряд q равен заряду электрона, который обозначается символом e. Таким образом с другой стороны та же самая работа равна

А=Ue. (2)

Объединяя (1) и (2), получаем:

= Ue,

откуда

, (3)

где m_e – масса электрона.

Используя полученные ранее формулы (7) и (11), подставляя в них найденное значение V, получаем:

(4)

h=

Vcosa =

(5)

Проверим размерности полученных величин:

Пояснение вывода размерности: в первом равенстве мы поименовали размерности входящих в (4) величин; во втором равенстве мы выразили размерность разности потенциалов - (U), (Вольт, В) из определения разности потенциалов U=A/q, где размерность работы – А, это Джоуль (Дж), а размерность электрического заряда – q, это Кулон (Кл). А также во втором равенстве мы выразили размерность В - магнитной индукции – Тл, через соотношение силы Ампера (как на с. 28 этого методического пособия); в последнем равенстве мы расписали (Дж) через определение работы, (Н) через второй закон Ньютона (который представляет собой определение силы) и упростили выражение, сократив одинаковые размерности.

Чтобы понять особенности вывода размерности шага винтовой линии, достаточно изучить данное абзацем выше пояснение, поскольку «шаг» зависит от тех же физических величин, что и радиус, следовательно, и расшифровки размерностей будут такие же.

Вычислим числовые значения величин:

Задача решена.

Ответ: Радиус винтовой линии равен 1,8 мм, а шаг равен 1,96 см.

§5 Электромагнитная индукция 5.1. Закон электромагнитной индукции

Запишем полученное ранее соотношение (20, § 3) для работы, совершаемой магнитными силами при движении замкнутого контура в магнитном поле.

dA=JdФ (1)

По закону сохранения энергии эта работа должна быть на что-то затрачена. Она (работа) в этом случае может быть затрачена лишь на выделение тепла в контуре. Можно предположить, что это тепло Джоулево, т.е. разогрев проводника произойдет под действием направленного движения заряженных частиц, т.е. по проводнику потечет ток.

Джоулево тепло подсчитывается по формуле –

dQ=UJdt.

Приравнивая теплоту работе магнитной силы, получим:

UJdt=JdФ. (2)

Поделив правую и левую части (2) на Jdt, получим

. (3)

Согласно (3) можно предположить, что в замкнутом контуре, помещенном в магнитное поле при изменении во времени потока магнитной индукции в нем (в контуре) может возникать ЭДС индукции равная по величине dФ/dt, которая вызывает (в контуре) падение напряжения равное U.

Фарадей обнаружил это явление экспериментально (1831 г.). В замкнутом контуре, помещенном в магнитное поле при изменении потока магнитной индукции пронизывающего этот контур возникает ЭДС магнитной индукции x, равная

x= -dФ/dt (3)

Знак (-) в (3) означает тот экспериментальный факт, что возникающая ЭДС производит индукционный ток, препятствующий изменению потока (правило Ленца). Правило Ленца соответствует условию выполнения закона сохранения энергии. Можно убедиться на конкретных примерах, что иначе закон сохранения энергии не выполнилось бы.

Рис. 15 иллюстрирует как при увеличении магнитного потока Ф=(В,dS) через контур возникающий ток уменьшает значение модуля В в пространстве плоскости контура (рис. 15, а) и увеличивает при уменьшении Ф.

Эксперимент Фарадея показал, что возникающая ЭДС не зависит от способа, которым изменяют поток через поверхность, «натянутую» на контур. Магнитный поток может меняться, благодаря изменению формы контура и его расположения в магнитном поле, а также вследствие изменения во времени индукции В.

Если закон изменения Ф(t) не известен в общем виде в каждый момент времени, то рассчитывают среднее значение ЭДС индукции для моментов времени в которые Ф(t) известны

<x>=(Ф₂-Ф₁)/(t₂-t₁) (4)

Если контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит из N витков (как, например, в случае соленоида), то индуцируемая ЭДС будет равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом из витков в отдельности

(5)

Рис. 15

Величина Y=

называется потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если магнитный поток через каждый виток соленоида одинаков, то

Y=

. (6)

Поскольку числовая константа N – безразмерна, то размерность потокосцепления такая же, как у потока -

[Y]=[Ф]=Вб.

5.2. ЭДС электромагнитной индукции в отрезке проводника

Эдс электромагнитной индукции возникает не только в замкнутом проводнике, но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии индукции магнитного поля (рис. 16). Величина x_i, возникшая в отрезке проводника l при перемещении в магнитном поле определяется тем же выражением (3):

x= -dФ/dt, (3)

однако, смысл изменения магнитного потока несколько иной, а именно dФ/dt – это отношение магнитного потока сквозь поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка. ЭДС индукции в отрезке проводника будет наводиться как в постоянном так и в переменном магнитном поле.

Соотношение (3) может быть выведено из соотношения для работы отрезка проводника с током в магнитном поле совершенно аналогично тому, как (3) выведено из (1).

Рис. 16

5.2. Явление электромагнитной самоиндукции