Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики 2000 г (стр. 6 из 12)

M=[P_m,B].

Подставляя значение момента сил и расшифровывая значение магнитного момента, производим несложное интегрирование (попытайтесь сделать это сами, прежде, чем прочтете следующий пример решения задачи) и получаем

А=J(Ф₂-Ф₁), (21)

как и было «обещано» в предыдущем разделе.

Пример решения задачи. Плоский квадратный контур со стороной а=20 см, по которому течет ток J=100 А, свободно устанавливается в однородном магнитном поле (В=0,1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси ОО`, проходящей через середины его противоположных сторон, на угол b=60⁰. (При повороте контура сила тока в нем неизменна.)

Дано: a=0,2 м В=0,1 Тл J= 100 A b=600 Найти: А

Решение Итак, , (1) здесь M – вращающий момент, действующий на контур с током, a - угол

Рис.12

поворота контура; поворот осуществляется от угла a₁ до a₂. В разделе 3.3 мы убедились, что M=[P_m,B], или в скалярном виде

M=JSBsina (2)

(напомню, что P_m=JSn). По условию задачи контур свободно установился в магнитном поле. Это условие означает что момент сил, действующий на рамку равен нулю, это возможно, когда a=0 (см рис. 11), т.е. когда векторы P_m и B совпадают по направлению. При повороте рамки именно этот угол a и будет меняться в соотношении (1) от

a₁=0 до a₂=60⁰ (3)

В случае этой задачи

S=а². (4)

Подставляя (4) в (2), (2) в (1), учитывая пределы интегрирования в соответствии с (3), получаем

,

откуда

А=Ja²B(-1)(cos0–-cos60⁰)=

=J(Ф₂Ф₁)=

=1/2×100×0,04×0,1=0,2Дж. (5)

Заметим, что выражение, полученное в (5) представляет собой произведение тока J на скалярное произведение вектора магнитной индукции B и вектора-площадки S. (Что по определению представляет собой поток вектора магнитной индукции; проверьте, что угол, косинус которого стоит в формуле, соответствует углу скалярного произведения двух этих векторов.) Задачу можно было бы решить проще, сразу используя соотношение (5), но мы еще раз на этом примере убедились в справедливости завершающего вывода предыдущего раздела.

Проверим размерность:

[A]=A×м²×Тл, размерность физической величины В – Тл, (как и любой другой) восстанавливаем с помощью соотношения, в котором она впервые появляется. Для физической величины – магнитной индукции это выражение для силы Ампера:

dF=[Jdl,B],

откуда

Тл=

= . [A]=A×м²× =Н×м=Дж.

Получили размерность работы Дж.

§4. Движение заряженных частиц в магнитном поле 4.1. Сила Лоренца

Магнитную силу в случае движения заряженной частицы в магнитном поле исследовал Лоренц. Сила Лоренца

F_Л=q[V,B] (1)

Модуль этого векторного произведения:

F_Л=q×V×Bsin(V,B), (2)

Где q – заряд частицы, V – скорость ее движения, B – индукция магнитного поля.

Проверьте, что размерность В, полученная из соотношения для силы Лоренца совпадает с размерностью, полученной из соотношения для силы Ампера.

Можно провести аналогию между силой Лоренца и силой Ампера, если в определении силы тока J=dq/dt вместо dq записать величину элементарного заряда, а бесконечно малый делитель dt в формуле отнести к dl:

F_Л=dq/dt[dl,B]= dq [dl/dt,B]= q[V,B] =F_Л (3)

(Но (3) нельзя считать доказательным выводом формулы для силы Лоренца из соотношения для силы Ампера. Операция дифференцирования применяется лишь до тех пор, пока величину заряда можно считать непрерывной. Дискретный элементарный заряд нельзя подвергать операции дифференцирования.)

Промышленные токи имеют дело с зарядами, для которых дискретный характер заряда @10^-19 Кл не проявляется в эксперименте при вычислении величин.Направление силы Лоренца можно определять по правилу левой руки, по правилу буравчика или по общему правилу определения векторного произведения как и в случае силы Ампера. Таким образом, сила Лоренца всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора магнитной индукции и скорости заряженной частицы (рис. (12)).

Сила Лоренца, будучи всегда направлена перпендикулярно

Рис.10

скорости заряженной частицы, сообщает ей нормальное ускорение, заставляя ее (частицу) двигаться по окружности, и не изменяет модуля ее скорости. Сила, перпендикулярная направлению движения не совершает работы (за счет равенства нулю косинуса в соотношении для силы и работы). Таким образом, сила Лоренца не совершает работы.

4.2. Примеры движения частиц в однородном магнитном поле

а) угол a между векторами скорости заряженной частицы V и вектором магнитной индукции В равен 0 или p.

В этом случае сила Лоренца равна нулю за счет равенства нулю синуса в векторном произведении соотношения (2)

F_Л=q×V×Bsin(V,B)= 0.

В отсутствии действующих на частицу сил, она будет двигаться не изменяя скорости (по первому закону Ньютона).

б) угол a между векторами скорости заряженной частицы V и вектором магнитной индукции В равен p/2, то есть V перпендикулярна В. Тогда

F_Л=q×V×B (3)

Частица будет двигаться по окружности в плоскости перпендикулярной вектору В. Поскольку, как мы уже отмечали ранее, сила Лоренца является центростремительной силой. Вспоминая из механики чему равно центростремительное ускорение, запишем:

q×V×B=F_Л=m×a_ц=m

=q×V×B,

откуда

R =

. (4)

Поскольку поле однородно, (В = сonst), и численное значение скорости не меняется. (Перпендикулярно направленная к ней (к скорости) сила не изменяет модуля скорости.) Поэтому R = сonst. Частица будет двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна В. Как видно из (4) радиус окружности зависит

Рис. 14

от отношения заряда частицы к ее массе:

, эта величина часто встречается в соотношениях физики и носит особое наименование, она называется удельным зарядом частицы.

По характеру отклонения частицы в магнитном поле можно судить о знаке ее заряда. Эксперимент показывает, что для определения направления вращения частицы надо с помощью рис. 13 применить правило левой руки, учитывая, что отрицательная частица

летит против направления тока (поскольку все соотношения электромагнетизма выведены с учетом того, что ток течет в направлении от + к -).

В общем случае период обращения частицы при ее движении по окружности равен длине окружности - 2pR (пройденному частицей пути), поделенному на скорость ее движения - V. В магнитном поле период обращения частицы по окружности с учетом (4) равен:

Т=

(5)

Анализируя (5) можно отметить, что период обращения частицы по окружности в магнитном поле не зависит от ее скорости. (Зависимость периода от скорости проявится лишь при стремлении V к скорости света С: V®C).

в) Общий случай движения заряженной частицы в магнитном поле 0<a<p/2 (рис. 14) Одно из проявлений принципа суперпозиции состоит в том, что при анализе движения мы можем разложить вектор скорости на две любые перпендикулярные составляющие и изучать движение вдоль каждого из двух взаимно перпендикулярных направлений независимо друг от друга. Выбор перпендикулярных направлений мы осуществляем наиболее удобным в условиях заданной задачи образом. В нашем случае

Рис. 14

пусть

B и B.

Задача свелась к двум предыдущим задачам: к движению со скоростью параллельной B и движению со скоростью перпендикулярной B, причем

=Vcosa, а =Vsina (6)